2.2.1 不等式及其性质-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【金版教程】创新导学案课件PPT（人教B版）

2.2　不等式 2.2.1　不等式及其性质 第二章　等式与不等式 课程标准：理解不等式的概念，掌握不等式的性质． 教学重点：1.不等式的性质.2.用作差法比较代数式的大小.3.用不等式的性质证明不等式． 教学难点：用不等式的性质求取值范围． 核心素养：1.通过学习不等式的性质及推论培养数学抽象素养.2.通过应用不等式的性质及推论解决问题培养逻辑推理素养. 1 核心概念掌握 PART ONE ≥ ≤ 不等号 a<b或a＝b a－b>0 ＝ a<b > > < > < > > > > a>b>0 p⇒q 必然成立 的结论 结论的否定 p⇐q 结论成立的充分条件 3．比较大小的方法 (1)作差：比较数(式)的大小常作差与0比较． 作差法中常用的变形手段是分解因式和配方等恒等变形，前者将“差”化为“积”，后者将“差”化为一个完全平方式或几个完全平方式的“和”，也可二者并用． (2)作商：两数(式)为同号时，作商与1比较． 4．利用不等式求范围应注意的问题 求指定代数式的取值范围，必须依据不等式的性质进行求解，同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，解题时必须利用性质，步步有据，避免改变代数式的取值范围． √ √ × × √ 2．做一做 (1)已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是(　　) A．a>b>－b>－a B．a>－b>－a>b C．a>－b>b>－a D．a>b>－a>－b (2)设b<a，d<c，则下列不等式中一定成立的是(　　) A．a－c>b－d B．ac>bd C．a＋c>b＋d D．a＋d>b＋c (3)已知x<1，则x2＋2与3x的大小关系是________. 答案　x2＋2>3x 答案 2 核心素养形成 PART TWO [解]　(1)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)． ∵a>0，b>0且a≠b，∴(a－b)2>0，a＋b>0， ∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，即a3＋b3>a2b＋ab2. 解 题型一 作差法比较大小 解 解 [条件探究]　若将本例(2)中“x<1”改为“x∈R”，则x3－1与2x2－2x的大小关系又如何呢？ 作差比较法的四个步骤 解 [跟踪训练1]　(1)比较x3＋6x与x2＋6的大小． 解　(x3＋6x)－(x2＋6)＝x(x2＋6)－(x2＋6)＝(x－1)(x2＋6)． ∵x2＋6>0，∴当x>1时，x3＋6x>x2＋6； 当x＝1时，x3＋6x＝x2＋6；当x<1时，x3＋6x<x2＋6. (2)已知a，b∈R，x＝a3－b，y＝a2b－a，试比较x与y的大小． 解　x－y＝a3－b－a2b＋a＝a2(a－b)＋a－b＝(a－b)(a2＋1)． ∵a2＋1＞0，∴当a＞b时，x－y＞0，即x＞y； 当a＝b时，x－y＝0，即x＝y；当a＜b时，x－y＜0，即x＜y. 题型二 利用不等式的性质判断 [答案]　③④ 答案 解析 (1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能随意捏造性质． (2)解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． 解 解 解 题型三 利用不等式的性质求取值范围 解 解 [结论探究]　若本例(1)中，条件不变，则a＋b，ab的取值范围又如何？ 解　由2<a≤5,3≤b＜10得，2＋3<a＋b<5＋10，2×3<ab<5×10，即5<a＋b<15,6<ab<50. 解 [跟踪训练3]　已知1≤a－b≤2，且2≤a＋b≤4，求4a－2b的取值范围． 例4　(1)已知a>b，e>f，c>0，求证：f－ac<e－bc. [证明]　∵a>b，c>0，∴ac>bc.∴－ac<－bc. ∵f<e，∴f－ac<e－bc. 证明 题型四 利用不等式的性质证明不等式 证明 证明 利用不等式的性质证明不等式的实质与技巧 (1)实质：就是根据不等式的性质把不等式进行变形，要注意不等式的性质成立的条件． (2)技巧：若不能直接由不等式的性质得到，可先分析需要证明的不等式的结构．然后利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件，即使用分析法．所以要根据已知条件和所证结论合理选择用综合法、反证法还是分析法． 证明 (2)已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数． 证明　假设a，b，c，d都是非负数， ∵a＋b＝c＋d＝1，∴(a＋b)(c