2.1.1 等式的性质与方程的解集-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【金版教程】创新导学案课件PPT（人教B版）

2.1　等式 2.1.1　等式的性质与方程的解集 第二章　等式与不等式 课程标准：1.梳理等式的性质，理解恒等式是进行代数变形的依据之一.2.理解方程的解集的定义，并会用集合的形式表示方程的所有解． 教学重点：1.等式的性质，恒等式的证明.2.求方程的解集． 教学难点：求方程的解集． 核心素养：通过利用十字相乘法分解因式、求方程的解集、证明恒等式提升数学运算素养和逻辑推理素养． 1 核心概念掌握 PART ONE a±c＝b±c 字母 任意实数 左右两边相等 所有解 1．恒等式的证明 一般可以把恒等式的证明分为两类： (1)无附加条件的恒等式证明． (2)有附加条件的恒等式证明． 2．因式分解法解一元二次方程 (1)常用的方法主要是提公因式法、运用平方差公式、完全平方公式等分解因式． (2)几种常见的恒等式： ①(a＋b)(a－b)＝a2－b2； ②(a±b)2＝a2±2ab＋b2； ③(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3， (a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3； ④a2＋b2＝(a＋b)2－2ab， (a－b)2＝(a＋b)2－4ab； ⑤(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc， (a±b)3＝a3±3a2b＋3ab2±b3. √ × √ × √ 答案 解 (3)解方程t2x＋1＝x＋t(t为任意实数)． 2 核心素养形成 PART TWO 例1　(1)化简(m2＋1)(m＋1)(m－1)－(m4＋1)的结果是(　　) A．－2m2 B．0 C．－2 D．－1 [解析]　(m2＋1)(m＋1)(m－1)－(m4＋1)＝(m2＋1)(m2－1)－(m4＋1)＝(m4－1)－(m4＋1)＝m4－1－m4－1＝－2. 答案 解析 题型一 常用乘法公式的应用 (2)证明：(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)(三数和平方公式)． [证明]　∵(a＋b＋c)2＝[(a＋b)＋c]2＝(a＋b)2＋2(a＋b)c＋c2＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)，∴等式成立． 证明 (1)使用公式化简时，一定要分清公式中的a，b分别对应题目中的哪个数或哪个整式． (2)利用公式化简时，要注意选择公式，公式选择恰当，可以有效地简化运算． [跟踪训练1]　(1)化简(x＋3y)2－(3x＋y)2的结果是(　　) A．8x2－8y2 B．8y2－8x2 C．8(x＋y)2 D．8(x－y)2 解析　解法一：(x＋3y)2－(3x＋y)2＝x2＋6xy＋9y2－(9x2＋6xy＋y2)＝x2＋6xy＋9y2－9x2－6xy－y2＝8y2－8x2. 解法二：(x＋3y)2－(3x＋y)2＝[(x＋3y)＋(3x＋y)][(x＋3y)－(3x＋y)]＝(x＋3y＋3x＋y)(x＋3y－3x－y)＝(4x＋4y)(－2x＋2y)＝4(x＋y)×2(－x＋y)＝8y2－8x2. 答案 解析 (2)如果(a－b－3)(a－b＋3)＝40，那么a－b的值为(　　) A．49 B．7 C．－7 D．7或－7 解析　(a－b－3)(a－b＋3)＝(a－b)2－9＝40，即(a－b)2＝49，则a－b＝±7. 答案 解析 解 (3)已知a＋b＋c＝4，ab＋bc＋ac＝4，求a2＋b2＋c2的值． 解　∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)， ∴a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ac)． ∵a＋b＋c＝4，ab＋bc＋ac＝4，∴a2＋b2＋c2＝8. 例2　把下列各式分解因式： (1)x2＋3x＋2； (2)6x2－7x－5； (3)x2－(m＋n)xy＋mny2； (4)4x2－4xy－3y2－4x＋10y－3. 题型二 十字相乘法分解因式 [解]　(1)x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)． 1×2＋1×1＝3 (2)6x2－7x－5＝(2x＋1)(3x－5)． 2×(－5)＋3×1＝－7 解 (3)原式＝(x－my)(x－ny)． (4)原式＝(4x2－4xy－3y2)＋(－4x＋10y)－3 ＝(2x－3y)(2x＋y)＋(－4x＋10y)－3 ＝(2x－3y＋1)(2x＋y－3)． 解 十字相乘法分解因式的形式 尝试把某些二次三项式如ax2＋bx＋c分解因式，先把a分解成a＝a1a2，把c分解成c＝c1c2，并且排列如下： 这里按斜线交叉相乘的积的和就是a1c2＋a2c1，如果它正好等于二次三项式ax2＋bx＋c中一次项的系数b，那么ax2＋bx＋c就可以分解成(a1x＋c1)(a2x＋c2)．