2.2.3 一元二次不等式的解法-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【金版教程】创新导学案课件PPT（人教B版）

2.2　不等式 2.2.3　一元二次不等式的解法 第二章　等式与不等式 课程标准：1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.2.能求解一元二次不等式的解集，并能用集合表示一元二次不等式的解集． 教学重点：一元二次不等式的概念，一元二次不等式的解法． 教学难点：一元二次不等式的解法． 核心素养：1.通过学习一元二次不等式的概念培养数学抽象素养.2.通过求一元二次不等式的解集培养数学运算素养． 1 核心概念掌握 PART ONE 一元二次 a≠0 “<”“≥”“≤” 含有参数的一元二次型的不等式 在解含有参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑： ①关于不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a＝0. ②关于不等式对应的方程根的讨论：两个不同的实根(Δ>0)，两个相同的实根(Δ＝0)，无实根(Δ<0)． ③关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1<x2. × √ × √ 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)不等式x2－2x＋3>0的解集为________. (2)不等式－x2－3x＋4>0的解集为________. (3)设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B＝_________. R (－4,1) 2 核心素养形成 PART TWO 解 题型一 不含参数的一元二次不等式的解法 解 解 解不含参数的一元二次不等式的方法 (1)若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为几个代数式的乘积形式，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集． (2)若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，则不等式的解集易得． (3)若上述两种方法均不能解决，则应采用求一元二次不等式的解集的通法，即判别式法． 解 [跟踪训练1]　求下列不等式的解集： (1)3x2＋5x－2>0；(2)x2＋4x－3≥0； (3)－9x2＋6x－1<0；(4)x2－4x＋5>0； (5)2x2＋x＋1<0. 解 例2　求不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a∈R)的解集． 解 题型二 含参数的一元二次不等式的解法 解 含参一元二次不等式的解法 [跟踪训练2]　解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0. 解　原不等式可化为(x－a)(x－a2)>0. 由a2－a＝a(a－1)可知： ①当a<0或a>1时，a2>a，解原不等式得x>a2或x<a，不等式的解集为(－∞，a)∪(a2，＋∞)； ②当0<a<1时，a2<a，解原不等式得x>a或x<a2，不等式的解集为(－∞，a2)∪(a，＋∞)； ③当a＝0时，原不等式为x2>0， ∴x≠0，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； ④当a＝1时，原不等式为(x－1)2>0， ∴x≠1，不等式的解集为(－∞，1)∪(1，＋∞)． 解 综上可知， 当a<0或a>1时，原不等式的解集为(－∞，a)∪(a2，＋∞)； 当0<a<1时，原不等式的解集为(－∞，a2)∪(a，＋∞)； 当a＝0时，原不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； 当a＝1时，原不等式的解集为(－∞，1)∪(1，＋∞). 解 解 题型三 解简单的分式不等式 解 解 答案 解析 解 答案 解析 题型四 两个“二次”间的关系 解 一元二次不等式解集逆向应用问题的解法及步骤 (1)求解方法 由已知不等式的解可转化为一元二次方程的两根，从而由根与系数的关系，找出系数a，b，c之间的关系，写出不等式的解集． (2)求解步骤 第一步：审结论——明确解题方向 如要解cx2＋bx＋a<0，首先确定c的符号，最好能确定a，b，c的值． 第二步：审条件——挖掘题目信息 利用一元二次方程的根与一元二次不等式的解集的关系列出关于a，b，c的方程组，用a表示b，c. 第三步：建联系——找解题突破口 由给定不等式的解集形式→确定关于a，b，c的方程组→用a表示b，c →代入所求不等式→求解cx2＋bx＋a<0的解集． 解 [跟踪训练4]　已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求不等式cx2－bx＋a>0的解集． 3 随堂水平达标 PART THREE 1．关于x的不等式x2－x－10>2x的解集是(　　) A．{x|x≥5或x≤－2} B．{x|x>5或x<－2} C．{x|－2<x<5} D．{x|－2≤x≤5} 解析　由x2－x－10>2x得x2－3x－10>