专题03 反函数与幂函数（精讲）-2022-2023学年高一数学常见考点精讲精练(人教B版2019必修第二册)

专题03反函数与幂函数（精讲） 知识梳理 一 反函数 1.反函数的概念 一般的，在函数中，给定值域中的任何一个y的值，只有惟一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为的反函数。 2.反函数的性质 （1）一般的，函数的反函数记做，的定义域与的值域相同；的值域与的定义域相同，与的图像关于直线对称；如果点在函数上，那么点一定在上。 （2）如果是单调函数，那么一定是单调函数；如果是增函数，那么一定也是增函数；如果是减函数，那么一定也是减函数。 二 幂函数 1.幂函数的概念 一般地，函数称为幂函数，其中为常数. 注意：幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量. 2.幂函数的图像与性质 （1）五个常见幂函数的图像 （2）五个常见幂函数的性质： 函数 性质 y＝x y＝x2 y＝x3 定义域 R R R 值域 R R 奇偶性 奇 非奇非偶 偶 奇 奇 单调性 R上增 上增 (－∞，0)上减 [0，＋∞)上增 R上增 (－∞，0)上减 (0，＋∞)上减 公共点 （1）所有的幂函数在区间上都有定义，因此在第一象限内都有图像，并且图像都过点. （2）如果，幂函数图像过原点，并且在上是增函数 （3）如果，幂函数图像过原点，并且在上是减函数 常见考点 考点一 求反函数的解析式 典例1．函数的反函数为 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，则有，即，易知，所以. 变式1-1．函数的反函数为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反函数的定义，反解，互换即可得出反函数. 【详解】, , , 解得，即， 所以反函数为． 故选：B 变式1-2．函数的反函数是 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以，可得， 互换可得函数的反函数是， 故选D. 变式1-3．函数的反函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反函数的定义即得. 【详解】由，可得， 所以， 所以函数的反函数为. 故选：D. 考点二 反函数的性质应用 典例2．若函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（    ） A．10 B．-1 C．2 D．-2 【答案】C 【分析】与关于对称知与互为反函数，即可根据得到，从而求出的值 【详解】与关于对称为的反函数 ∴ 有 故选：C