第二章 2.2 2.2.3 第2课时 两条直线的垂直-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版教程】创新导学案课件PPT（人教B版）

2.2　直线及其方程 2.2.3　两条直线的位置关系 第2课时　两条直线的垂直 第二章　平面解析几何 课程标准：能根据斜率判定两条直线垂直． 教学重点：两条直线垂直的条件． 教学难点：利用两条直线垂直的条件解决对称问题及其他实际问题． 核心素养：通过推导两条直线垂直的充要条件及利用两条直线的垂直关系解决问题培养数学抽象素养和数学运算素养. 1 核心概念掌握 PART ONE k1k2＝－1 v1⊥v2 A1A2＋B1B2＝0 1．对两直线垂直与斜率的关系要注意的几点 (1)l1⊥l2⇔k1k2＝－1成立的前提条件：①两条直线的斜率都存在；②k1≠0且k2≠0. (2)判定两条直线垂直的一般结论：l1⊥l2⇔k1k2＝－1或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零． 2．常用对称的特例 (1)A(a，b)关于x轴的对称点为A′(a，－b)； (2)B(a，b)关于y轴的对称点为B′(－a，b)； (3)C(a，b)关于直线y＝x的对称点为C′(b，a)； (4)D(a，b)关于直线y＝－x的对称点为D′(－b，－a)； (5)P(a，b)关于直线x＝m的对称点为P′(2m－a，b)； (6)Q(a，b)关于直线y＝n的对称点为Q′(a,2n－b)． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若两条直线垂直，则它们的斜率的乘积一定等于－1.(　　) (2)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线都与x轴垂直．(　　) (3)两条直线的斜率分别为k1，k2，若k1k2≠－1，则两条直线一定不垂直．(　　) (4)直线2x＋3y－1＝0与直线3x－2y＋1＝0垂直．(　　) × √ √ √ 答案 l1⊥l2 2 核心素养形成 PART TWO 例1　当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？ 题型一 两条直线的垂直 解 解 (1)判断两直线是否垂直的依据：在这两条直线斜率都存在的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行时，两直线也垂直． (2)直接使用A1A2＋B1B2＝0判断两条直线是否垂直更有优势． [跟踪训练1]　已知直线l1：mx＋4y－2＝0与直线l2：2x－5y＋n＝0垂直且垂足为(1，p)，则m－n＋p的值为(　　) A．－24 B．20 C．0 D．－4 解析　由已知，得A1A2＋B1B2＝2m＋4×(－5)＝0，∴m＝10，l1的方程为5x＋2y－1＝0，∴5×1＋2×p－1＝0，∴p＝－2，∴垂足为(1，－2)，∴2×1－5×(－2)＋n＝0，∴n＝－12，∴m－n＋p＝10＋12－2＝20.故选B． 答案 解析 例2　求经过两条直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程． 题型二 利用垂直关系求直线方程 解 解 [跟踪训练2]　求过点P(1，－1)且与直线2x＋3y＋10＝0垂直的直线l的方程． 解 例3　(1)点关于线对称 点P(－3,4)关于直线x＋y－2＝0的对称点Q的坐标是(　　) A．(－2,1) B．(－2,5) C．(2，－5) D．(4，－3) 答案 解析 题型三 对称问题 (2)线关于点对称 与直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是(　　) A．3x－2y＋2＝0 B．2x＋3y＋7＝0 C．3x－2y－12＝0 D．2x＋3y＋8＝0 [解析]　由平面几何知识易知所求直线与已知直线2x＋3y－6＝0平行，则可设所求直线方程为2x＋3y＋C＝0. 在直线2x＋3y－6＝0上任取一点(3,0)， (3,0)关于点(1，－1)的对称点为(－1，－2)， 则点(－1，－2)必在所求直线上， ∴2×(－1)＋3×(－2)＋C＝0，∴C＝8. ∴所求直线方程为2x＋3y＋8＝0. 答案 解析 (3)点关于点对称 过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程． [解]　设l1与l的交点为A(a,8－2a)， 则由题意知，点A关于点P(0,1)的对称点B(－a，2a－6)在l2上， 代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0， 解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上， ∴由两点式得直线l的方程为x＋4y－4＝0. 解 (4)线关于线对称 求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l：2x－3y＋1＝0的对称直线m′的方程． 解 解 [跟踪训练3]　已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4)． (1)在直线l上求一点P，使|