第二章 2.2 2.2.1 直线的倾斜角与斜率-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版教程】创新导学案课件PPT（人教B版）

2.2　直线及其方程 2.2.1　直线的倾斜角与斜率 第二章　平面解析几何 课程标准：1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式． 教学重点：直线倾斜角概念，直线的斜率公式，直线的方向向量与法向量的应用． 教学难点：直线的倾斜角与斜率的变化关系，直线的斜率公式． 核心素养：1.通过学习直线的倾斜角、直线的斜率、直线的方向向量与法向量这些概念提升数学抽象素养.2.通过利用过两点的直线的斜率公式解决问题提升数学运算素养. 1 核心概念掌握 PART ONE 最小正角 0° 不存在 不存在 平行或重合 a a 共线 不存在 90° v v⊥l 垂直 1．对直线倾斜角的理解 (1)由倾斜角定义可知倾斜角也是直线l向上的方向与x轴正方向所成的角． (2)倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对x轴的倾斜程度． (3)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等． (4)当直线的倾斜角α≠90°时，其正切值等于直线的斜率k，即k＝tanα. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意一条直线都有倾斜角．(　　) (2)任意一条直线都有斜率．(　　) (3)直线倾斜角取值范围为[0，π]．(　　) (4)若θ为直线l的倾斜角，则向量(sinθ，－cosθ)是直线l的一个法向量．(　　) √ × × √ 2．做一做 (1)过下列两点的直线不存在斜率的是(　　) A．(4,2)与(－4,1) B．(0,3)与(3,0) C．(3，－1)与(2，－1) D．(－2,2)与(－2,5) 答案 (2)如图1所示，直线l的倾斜角为________. (3)过点(a，b)与y轴垂直的直线的斜率为________. (4)如图2所示，直线l1，l2，l3的斜率k1，k2，k3的大小关系为________. (5)已知直线l经过两点P(1,2)，Q(－2,1)，那么直线l的一个方向向量为_______________________；一个法向量为_________________________； 斜率为____________. 135° 0 k1<k3<k2 (－3，－1)(答案不唯一) (－1,3)(答案不唯一) 2 核心素养形成 PART TWO 例1　设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为(　　) A．α＋45° B．α－135° C．135°－α D．当0°≤α＜135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α＜180°时，倾斜角为α－135° 答案 题型一 直线的倾斜角 [解析]　通过画图(如图所示)可知，当0°≤α＜135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D. 解析 求直线倾斜角的注意点 (1)解答这类问题要抓住：①倾斜角的定义，注意旋转方向；②倾斜角的取值范围0°≤α<180°；③充分结合图形进行分析． (2)当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°；当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°. 答案　60°或120° [跟踪训练1]　已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为________. 解析　有两种情况：①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°. ②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°. 答案 解析 答案 解析 题型二 直线的斜率 解 (2)用斜率公式时要一看，二用，三求值．一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；二用，就是将点的坐标代入斜率公式；三求值，就是计算斜率的值，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论． 答案　－2 答案 解析 解 例3　(1)已知直线l通过点A(2,3)，B(－1，0)，求直线l的一个方向向量，并确定直线l的斜率与倾斜角． 解 题型三 直线的方向向量和法向量的应用 (2)已知v＝(sinα，1)是直线l的一个法向量，求直线l的一个方向向量，并确定直线l的斜率k与倾斜角θ的取值范围． 解 解 解 例4　已知三点A(a,2)，B(5,1)，C(－4，2a)在同一直线上，求a的值． 解 题型四 三点共线问题 解 斜率公式