第一章 章末复习-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版教程】创新导学案课件PPT（人教B版）

章末复习 第一章　空间向量与立体几何 1 知识系统整合 PART ONE 2 规律方法收藏 PART TWO 一、空间向量及其运算 1．空间向量的概念 (1)在空间中，既有大小又有方向的量称为向量(也称为矢量)，向量的大小也称为向量的模(或长度)，始点和终点相同的向量称为零向量，零向量的方向是不确定的，两个向量相等的充要条件是大小相等、方向相同． (2)空间向量与平面向量一样，也可以用有向线段表示．向量的有向线段表示，使向量与几何图形产生了必然的联系，为运用向量解决几何问题奠定了基础． 2．空间向量的运算 (1)空间向量可以进行加减、数乘和数量积等运算，各种运算的性质与平面向量的运算性质基本相同．在向量的数量积运算中，不满足结合律． (2)空间向量可以进行代数运算、几何运算．代数运算与实数运算基本相同；几何运算赋予向量运算以明确的几何意义和物理意义． 3．空间向量中的一些重要结论 (1)空间向量共线、垂直的充要条件：a∥b⇔a＝λb(λ∈R，b≠0)；a⊥b⇔a·b＝0. (2)空间向量共面的充要条件：a，b，c共面⇔c＝xa＋yb(a，b不共线，x，y∈R)． 二、空间向量的坐标表示 1．空间坐标系 在空间任意选定一点O作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy，然后过O作一条与xOy平面垂直的数轴为z轴，建立空间直角坐标系，记作Oxyz.在z轴的正半轴看xOy平面，x轴的正半轴绕O点沿逆时针方向旋转90°能与y轴的正半轴重合． 三、运用向量方法研究平行与垂直 证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量且两条直线无公共点． 证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直． 证明线面平行只需证明直线的方向向量与平面的法向量垂直． 证明线面垂直只需证明直线的方向向量与平面的法向量平行． 证明面面平行只需证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)． 证明面面垂直可转化为证明两个平面的法向量互相垂直． 2．求线面角 求直线与平面所成的角时，一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成的角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线的方向向量与平面法向量的夹角φ，即可求出直线与平面所成的角θ，其关系是sinθ＝|cosφ|. 3．求二面角 用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义，在两个半平面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；另一种方法是转化为求二面角的两个半平面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补． 3 学科思想培优 PART THREE 一、空间向量及其运算 本部分内容包括空间向量及其线性运算，共线向量与共面向量，空间向量基本定理，两个向量的数量积，这是学习立体几何的基础，也是立体几何的重点内容，通过本部分的学习我们就可以很方便地使用向量工具，证明线与线、线与面、面与面的位置关系，求空间角和空间距离，把几何推导转化为向量代数运算． 1 向量的线性运算 选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求．解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量，再对照目标，将不符合目标要求的向量作新的调整，如此反复，直到所有向量都符合目标要求． 答案 解析 用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． 2 空间向量的数量积 正确运用数量积公式及性质求角及距离． (1)向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉； (2)向量的数量积的性质 ①a⊥b⇔a·b＝0； ②|a|2＝a·a； ③|a·b|≤|a||b|； ④(λa)·b＝λ(a·b)； ⑤a·b＝b·a； ⑥(a＋b)·c＝a·c＋b·c. [典例2]　 如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，沿对角线AC折起，使D在平面ABC上的射影E恰好落在AB上，求这时二面角B－AC－D的余弦值． 解 解 求二面角的大小，可以在两个半平面内作出垂直于棱的两个向量，然后转化为求这两个向量的夹角，通常取这两个向量的始点在二面角的棱上． 3 共线向量、共面向量 运用共线向量定理和共面向量定理可以解决立体几何中的平行问题和共面问题． 证明 共面向量定理的应用之一是证明四点共面．本题考查利用共面向量定理证四点共面及利用共线向量定理证线线平行，从而证明面面平行，使问题变得更简单． 二、立体几何中的向量方法 空间向量要解决的问题主要是用空间向量的方法解决立体几何中的基本问题，根据问题的特点，以适当的方式(如构建向量，建立