第一章 1.2 1.2.2 第2课时 空间中平面与平面平行、垂直的证明-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版教程】创新导学案课件PPT（人教B版）

1.2　空间向量在立体几何中的应用 1.2.2　空间中的平面与空间向量 第2课时　空间中平面与平面平行、垂直的证明 第一章　空间向量与立体几何 课程标准：能用向量语言表述平面与平面的垂直与平行关系． 教学重点：1.用向量方法解决平面与平面平行、垂直的证明问题.2.三垂线定理及其逆定理． 教学难点：三垂线定理及其逆定理的应用． 核心素养：通过运用平面的法向量证明面面平行与垂直培养逻辑推理素养和直观想象素养. 1 核心概念掌握 PART ONE 垂线l A′就是点A在平面α内 所有点 射影 一条直线 射影垂直 一条直线 一条斜线垂直 三垂线定理与其逆定理 (1)从条件上看，三垂线定理的条件是平面内的直线和斜线的射影垂直，其逆定理的条件是平面内的直线和斜线垂直． (2)从功能上看，三垂线定理用于解决已知共面垂直，证明异面垂直的问题，而逆定理正好相反． (3)不论定理还是逆定理，已知直线必须是平面内的一条直线． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若u，v分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔u·v＝0.(　　) (2)若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．(　　) (3)平面α，β的法向量分别为n1＝(0,1,3)，n2＝(1，0,2)，则α∥β.(　　) (4)斜线b在平面α内的射影为c且直线a⊥c，则a与b一定垂直．(　　) √ √ × × 2．做一做 (1)已知平面α的一个法向量是(2，－1,1)，α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是(　　) A．(4,2，－2) B．(2,0,4) C．(2，－1，－5) D．(4，－2,2) 答案 (2)已知平面α与平面β垂直，若平面α与平面β的法向量分别为μ＝(－1,0,5)，v＝(t,5,1)，则t的值为________. (3)如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上，则平面AEC与平面PDB的位置关系是________. 5 垂直 2 核心素养形成 PART TWO 例1　如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，BF＝DE，M为棱AE的中点，AB＝2，DE＝4. 求证：平面BDM∥平面EFC. 题型一 利用空间向量证明面面平行 证明 证明 证明 证明面面平行的方法 设平面α的一个法向量为n1＝(a1，b1，c1)，平面β的一个法向量为n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔n1∥n2⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)． 解 解 题型二 利用空间向量证明面面垂直 证明 证明 证明 证明 利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径，一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直． [跟踪训练2]　在正三棱锥P－ABC中，三条侧棱两两垂直，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2. 求证：(1)平面EFG⊥平面PBC； (2)EG⊥BC，PG⊥EG. 证明 证明 证明 题型三 三垂线定理及其逆定理的应用 证明 证明 三垂线定理及其逆定理是证明空间两直线垂直的一种基本方法．从功能上看，三垂线定理用于解决已知共面垂直，证明异面垂直的问题；其逆定理恰好相反．用三垂线定理及其逆定理证明直线与直线垂直的关键是构造三垂线定理的基本图形．构造基本图形有以下三个环节： 证明 证明 3 随堂水平达标 PART THREE 答案 解析 2．(多选)已知v为直线l的方向向量，n1，n2分别为平面α，β的法向量(α，β不重合)，那么下列说法正确的是(　　) A．n1∥n2⇔α∥β B．n1⊥n2⇔α⊥β C．v∥n1⇔l∥α D．v⊥n1⇔l∥α 解析　v为直线l的方向向量，n1，n2分别为平面α，β的法向量(α，β不重合)，则n1∥n2⇔α∥β，n1⊥n2⇔α⊥β，v∥n1⇔l⊥α，v⊥n1⇔l∥α或l⊂α.故选AB. 答案 解析 3．(多选)下列命题中正确的是(　　) A．如果平面α内的一条直线l与平面α外的一条直线l′在平面α内的射影垂直，则l⊥l′ B．如果直线l与平面α外的一条直线l′垂直，则l与l′在平面α内的射影垂直 C．如果向量a和直线l在平面α内的射影垂直，则a⊥l D．如果非零向量a和平面α平行，且和直线l垂直，直线l不与平面α垂直，则a垂直于l在平面α内的射影 解析　由三垂线定理及其逆定理，知A，D正确． 答案 解析 答案　－3 4