第一章 1.2 1.2.2 第1课时 空间中直线与平面平行、垂直的证明-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版教程】创新导学案课件PPT（人教B版）

1.2　空间向量在立体几何中的应用 1.2.2　空间中的平面与空间向量 第1课时　空间中直线与平面平行、垂直的证明 第一章　空间向量与立体几何 课程标准：1.能用向量语言描述平面，理解平面的法向量.2.能用向量语言表述直线与平面的垂直与平行关系． 教学重点：1.平面法向量的概念.2.用向量方法解决直线与平面平行、垂直的证明问题． 教学难点：用向量方法解决直线与平面平行、垂直的问题． 核心素养：1.通过对平面法向量概念的学习提升数学抽象素养和数学运算素养.2.通过运用平面的法向量证明线面平行与垂直培养逻辑推理素养和直观想象素养. 1 核心概念掌握 PART ONE 垂直 方向向量 λn 平行 垂直 0 平面的法向量的定义及应用 (1)平面的法向量不唯一，并且垂直于平面α的所有共面向量． (2)直线与平面垂直的判定，必须证直线与平面内的两条相交直线垂直，至于两直线与已知直线是否有公共点，并不重要． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知直线l垂直于平面α，向量a平行于直线l，则a是平面α的法向量．(　　) (2)若向量n1，n2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线一定平行．(　　) (3)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．(　　) (4)直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直．(　　) × × √ √ －8 1 0 2 核心素养形成 PART TWO 答案 题型一 求平面的法向量 　 解析 (2)已知点A(2,0,0)，B(0,5,0)，C(0,0,3)，求平面ABC的单位法向量． 解 解 解 例2　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AB＝4，AA1＝2，点E，F，G分别是DD1，BD，AA1的中点，求证：D1G∥平面EFC. 题型二 利用空间向量证明线面平行 证明 证明 证明 证明 应用向量法证明线面平行问题的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直． (2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线． (3)证明直线的方向向量可用平面内的任意两个不共线的向量表示，即用平面向量基本定理证明线面平行． 解 解 例3　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点．求证：A1O⊥平面GBD. 题型三 利用空间向量证明线面垂直 证明 证明 证明 用坐标法证明线面垂直的方法及步骤 方法一：(1)建立空间直角坐标系； (2)将直线的方向向量用坐标表示； (3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量； (4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0. 方法二：(1)建立空间直角坐标系； (2)将直线的方向向量用坐标表示； (3)求出平面的法向量； (4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行． 证明 证明 3 随堂水平达标 PART THREE 1．已知直线l的一个方向向量为(－1,2,1)，平面α的一个法向量为(m，n,3)，若l⊥α，则m＋n＝(　　) A．－3 B．3 C．6 D．9 解析　因为l⊥α，所以直线l的方向向量与平面α的法向量平行，所以(m，n,3)＝λ(－1,2,1)，解得λ＝3，m＝－3，n＝6，所以m＋n＝3. 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案　平行 答案 解析 证明 证明 4 课后课时精练 PART FOUR 答案 解析 答案 解析 答案 解析 4．(多选)已知平面α过点P(0,1,1)，其法向量为n＝(1,1,2)，则下列点在平面α内的有(　　) A．(2,1,0) B．(－1,0,2) C．(2，－1,2) D．(2,3，－1) 解析　设平面α内的点(x，y，z)，结合法向量的定义可得x＋(y－1)＋2(z－1)＝0，即x＋y＋2z－3＝0.对于A，若x＝2，y＝1，则z＝0，故点为(2,1,0)，故A正确；对于B，若x＝－1，y＝0，则z＝2，故点为(－1,0,2)，故B正确；对于C，若x＝2，y＝－1，则z＝1，故点为(2，－1,1)，故C错误；对于D，若x＝2，y＝3，则z＝－1，故点为(2,3，－1)．故D正确．故选ABD. 答案 解析 5．(多选)如图所示，在四个正方体中，l是正方体的一条体对角线，点M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥平面MNP的图形为(　　) 答案 解析 解析 解析 解析 二、填空题 6．空间直角坐标系中，两平面α与β分别以n1＝(2,1,1)与n2＝(0,2,1)为其法向量，若α∩β＝l，则直线l的一个方向向量为____