第一章 1.1 1.1.3 第1课时 空间向量的坐标及运算-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版教程】创新导学案课件PPT（人教B版）

1.1　空间向量及其运算 1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 第1课时　空间向量的坐标及运算 第一章　空间向量与立体几何 课程标准：1.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量线性运算的坐标表示.3.掌握空间向量的数量积的坐标表示． 教学重点：1.空间向量坐标的定义.2.空间向量运算的坐标表示． 教学难点：利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直、夹角问题． 核心素养：1.通过学习空间向量坐标的定义培养数学抽象素养.2.通过利用空间向量的坐标运算解决问题培养逻辑推理素养和数学运算素养. 1 核心概念掌握 PART ONE 单位 两两垂直 单位正交基底下 (x，y，z) p＝(x，y，z) x1＝x2，y1＝y2，z1＝z2 (x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2) (ux1＋vx2，uy1＋vy2，uz1＋vz2) x1x2＋y1y2＋z1z2 |a| (x2，y2，z2)＝λ(x1，y1，z1) b x1x2＋y1y2＋z1z2＝0 × √ × √ 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)已知向量a＝(－3,2,5)，b＝(1，－3,0)，c＝(7，－2,1)，则a＋b＋c＝_____________. (2)已知向量a＝(－3,2,2)，b＝(1,2，－1)，则a·b＝________. (3)已知a＝(0,3,3)，b＝(－1,1,0)，则两向量的夹角等于________. (5，－3,6) －1 60° 2 核心素养形成 PART TWO 答案 解析 题型一 空间向量的坐标表示 (2)设{i，j，k}是单位正交基底，已知向量p＝8a＋6b＋4c，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则向量p在基底{i，j，k}下的坐标是(　　) A．(12,14,10) B．(10,12,14) C．(14,12,10) D．(4,3,2) [解析]　依题意，知p＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k，故向量p在基底{i，j，k}下的坐标是(12,14,10)． 答案 解析 若i，j，k为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量，有序实数组(x，y，z)使得p＝xi＋yj＋zk，我们把x，y，z称作向量p在单位正交基底{i，j，k}下的坐标，记作p＝(x，y，z)． 答案 解析 例2　已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1，4)，求a＋b,2a·(－b)，(a＋b)·(a－b)． [解]　a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4)＝(2，－2,2)． 2a·(－b)＝2(2，－1，－2)·(0,1，－4) ＝(4，－2，－4)·(0,1，－4) ＝4×0＋(－2)×1＋(－4)×(－4)＝14. a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1,4)＝(2,0，－6)， ∴(a＋b)·(a－b)＝(2，－2,2)·(2,0，－6) ＝2×2＋(－2)×0＋2×(－6)＝－8. 解 题型二 空间向量的坐标运算 空间向量坐标运算问题，一是直接计算，首先将空间向量用坐标表示，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算；二是通过解方程组求其坐标． [跟踪训练2]　(1)已知a＝(1，－2,1)，a－b＝(－1,2，－1)，求向量b的坐标． 解　b＝a－(a－b)＝(1，－2,1)－(－1，2，－1)＝(2，－4,2)． (2)若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，且满足条件(c－a)·2b＝－2，求x的值． 解　由题意，得c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)，∴(c－a)·2b＝2(1－x)＝－2，解得x＝2. 解 答案 解析 题型三 空间向量的模和夹角的计算 答案 解析 2．利用数量积求两向量夹角的步骤 [跟踪训练3]　已知向量a＝(2，－3,1)，b＝(2,0,3)，c＝(0,2,2)． 求：(1)|a＋b－2c|； (2)cos〈a－b，b－c〉． 解 例4　已知a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)． (1)若|c|＝3，d＝b－a，且c∥d，求c； (2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k. 解 题型四 空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直　 解 [跟踪训练4]　已知a＝(1,5，－1)，b＝(－2，3,5)． (1)当(λa＋b)∥(a－3b)时，求实数λ的值； (2)当(a－3b)⊥(λa＋b)时，求实数λ的值． 解 解 3 随堂水平达标 PART THREE 1．已知向量a＝(1，－2,1)，a＋b＝(3，－6,3)，则b等于(　　) A．(2，－4,2) B．(－2,4,2