第04讲 数列求通项（练透重点题型）-2022-2023学年高二数学上学期重点题型方法与技巧（人教A版2019选择性必修第二册）

第4讲：数列求通项(重点题型方法与技巧) 目录 类型一：法(已知与的关系) 角度1：用，得到 角度2：将题意中的用替换 角度3：已知等式中左侧含有： 类型二：累加法 类型三：累乘法 类型四：构造法 类型五：倒数法 类型一：法(已知与的关系) 角度1：用，得到 典型例题 例题1．（2022·河南省淮阳中学高三阶段练习（文））已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； 【答案】(1) 由，得，得， 当时，，即， ∴是首项为2，公比为2的等比数列， ∴的通项公式为． 例题2．（2022·福建省华安县第一中学高二阶段练习）正项数列的前项和满足：. (1)求数列的通项公式； 【答案】(1) 当时，， 即解得或， 因为数列为正项数列，所以， 因为，所以， 解得或， 因为数列各项都是正数，所以， 当时，有， 所以，解得， 又当时，，符合. 所以数列的通项公式 例题3．（2022·四川省内江市第六中学高一阶段练习（理））数列的前项和记为，己知，． (1)求的通项公式； 【答案】(1) 解：因为，， 令可得，，解得或（舍去）． 当时可得， 两式相减得，即， 因为，可得， 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列， 所以数列的通项公式为. 例题4．（2022·福建省厦门集美中学高三阶段练习）已知数列的各项均为正数，前项和为，且（）． (1)求数列的通项公式； 【答案】(1)； 解：（）， 当时，，∴， 当时，由，得① ∴，② ①﹣②得：， ∴， ∵， ∴，， ∴数列是等差数列， ∴； 同类题型归类练 1．（2022·四川省绵阳南山中学模拟预测（理））设数列的前n项和为，已知. (1)求数列的通项公式； 【答案】(1) 因为，所以， 两式相减，可得，整理得，即， 因为在中当时，，所以， 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以. 2．（2022·湖南·高三阶段练习）记各项均为正数的数列的前n项和是，已知，n为正整数， (1)求的通项公式； 【答案】(1) 当时，相减得， 即，各项均为正数，所以， 故是以首项为1，公差以1的等差数列， 所以； 3．（2022·全国·成都七中高三开学考试（理））记数列​前​项和为，. (1)证明：​为等差数列； 【答案】(1)证明见解析 （1）由题意，得​. 则​. 两式相减，得​， 即​， ​是等差数列. 角度2：将题意中的用替换 典型例题 例题1．（多选）（2023·全国·高三专题练习）设是数列的前项和，且，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．数列是等差数列 【答案】BCD 【详解】∵an＋1＝Sn·Sn＋1＝Sn＋1－Sn，两边同除以Sn＋1·Sn，得. ∴是以－1为首项，d＝－1的等差数列， 即＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n， ∴Sn＝－. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＋＝， 又a1＝－1不符合上式， ∴ 故A错误，BCD正确. 故选：BCD 例题2．（2022·安徽宣城·二模（理））已知数列中，，，前项和为.若，则数列的前2022项和为_____________. 【答案】 【详解】由可得，又，，， 故是以1为首项，1为公差的等差数列，，，又也符合， ，，故数列的前2022项和为 . 故答案为：. 例题3．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（理））已知正项数列满足，前项和满足 (1)求数列的通项公式； 【答案】(1)； (1)解：∵ ∴ ∴，∴是以1为首项，1为公差的等差数数列， ∴，即， 当时，， 当时，也成立， ∴. 例题4．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且满足()，. (1)求； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1) (2) （1） 由题意可得, 当时，, 当时，, 即 , 可得 , 即数列 是首项为2 ,公差为2的等差数列 , , 可得. 经检验，时，满足上式， 故. （2） 由(1)可得，当时，, 当时，,不符合， 综上所述, 结论是: . 同类题型归类练 1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三阶段练习）已知数列的前项和为，且满足， (1)求和 【答案】(1)， （1）时，，时，， 所以，所以数列是以为首项，公差为的等差数列． 所以，即， 当时，， 当时，，不满足上式， 所以， 2．（2022·全国·模拟预测）已知首项为1的数列的前n项和为，且． (1)求数列的通项公式； 【答案】(1) (1)依题意，， 故， 因为，所以， 又，所以是首项为1，公差为1的等差数列，所以，． 当时，， 又当n＝1时，也满足上式，所以． 3．（2022·四川省通江中学高二阶段练习（理））已知正项数列的前项和为，且 ； (1)求数列的通项公式； 【答案】(1) (1)由题意正项数列的前项和为， 当时， ， 故，所以 ， 即，所以