第四章 数列【章末复习】-2022-2023学年高二数学单元复习过过过（人教A版2019选择性必修第二册）

第四章 数列 章末复习 1 1 知识框架 2 重点题型 一、等差(比)数列的基本运算 1.数列的基本运算以小题居多，但也可作为解答题第一步命题，主要考查利用数列的通项公式及求和公式，求数列中的项、公差、公比及前n项和等，一般试题难度较小. 2.通过等差、等比数列的基本运算，培养数学运算、逻辑推理等核心素养. 2 重点题型 例1　在等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16. (1)求数列{an}的通项公式； 解　设数列{an}的公比为q， 由已知得16＝2q3， 解得q＝2，∴an＝2×2n－1＝2n，n∈N*. 2 重点题型 (2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn. 解　由(1)得a3＝8，a5＝32， 则b3＝8，b5＝32. 所以bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28，n∈N*. 所以数列{bn}的前n项和 2 重点题型 反思感悟 在等差数列和等比数列的通项公式an与前n项和公式Sn中，共涉及五个量：a1，an，n，d或q，Sn，其中a1和d或q为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，d或q，an，Sn，n的方程组，利用方程的思想求出需要的量，当然在求解中若能运用等差(比)数列的性质会更好，这样可以化繁为简，减少运算量，同时还要注意整体代入思想方法的运用. 2 重点题型 解　因为数列{an}的公差d＝1，且1，a1，a3成等比数列， 跟踪训练1　已知等差数列{an}的公差d＝1，前n项和为Sn. (1)若1，a1，a3成等比数列，求a1； 解得a1＝－1或a1＝2. 2 重点题型 解　因为a1＞0，所以a1＝2， (2)在(1)的条件下，若a1＞0，求Sn. 2 重点题型 二、等差、等比数列的判定 1.判断等差或等比数列是数列中的重点内容，经常在解答题中出现，对给定条件进行变形是解题的关键所在，经常利用此类方法构造等差或等比数列. 2.通过等差、等比数列的判定与证明，培养逻辑推理、数学运算等核心素养. 2 重点题型 2 重点题型 2 重点题型 反思感悟 判断和证明数列是等差(比)数列的方法 (2)中项公式法： ①若2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2)，则{an}为等差数列. 2 重点题型 (3)通项公式法：an＝kn＋b(k，b是常数)⇔{an}是等差数列；an＝c·qn(c，q为非零常数)⇔{an}是等比数列. (4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列；Sn＝Aqn－A(A，q为常数，且A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)⇔{an}是公比不为1的等比数列. 2 重点题型 【训练1】　已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n－5an－85，n∈N*. (1)证明：{an－1}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式. (1)证明　∵Sn＝n－5an－85， ∴Sn＋1＝(n＋1)－5an＋1－85， 两式相减得：an＋1＝1＋5an－5an＋1， 2 重点题型 又∵a1＝1－5a1－85，即a1＝－14， ∴a1－1＝－14－1＝－15， 三、等差、等比数列的性质及应用 1.等差、等比数列的性质主要涉及数列的单调性、最值及其前n项和的性质，利用性质求数列中某一项等.试题充分体现“小”“巧”“活”的特点，题型多以选择题和填空题的形式出现，难度为中低档. 2.借助等差、等比数列的性质及应用，提升逻辑推理、数学运算等核心素养. 例3　(1)已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示数列{an}的前n项和，则使得Sn取得最大值的n是 A.21 B.20 C.19 D.18 解析　由a1＋a3＋a5＝105得，3a3＝105，∴a3＝35. 同理可得a4＝33， ∴d＝a4－a3＝－2，an＝a4＋(n－4)×(－2)＝41－2n. √ ∴使Sn取得最大值的n是20. (2)记等比数列{an}的前n项积为Tn(n∈N*)，已知am－1am＋1－2am＝0，且T2m－1＝128，则m＝        . 又由am－1am＋1－2am＝0(am≠0)，从而am＝2. 4 则22m－1＝128，故m＝4. 反思感悟 等差数列 等比数列 若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq. 特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap 若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq. 特别地，若m＋n＝2p，则am·an＝ am，am＋k，am＋2k，…仍是等差数列，公差为kd am，am＋k，am＋2k，