立体几何中的探索性问题与翻折问题校本作业-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.4.4立体几何中的探索性问题与翻折问题 班级_____ 姓名_______ 座号______ 1.如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点． (1)求证B1E⊥AD1； (2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求出AP的长；若不存在，说明理由． 2.直三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝1，E，F分别是CC1，BC的中点，AE⊥A1B1，D为棱A1B1上的点． (1)证明：DF⊥AE； (2)是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成的夹角的余弦值为？若存在，说明点D的位置；若不存在，说明理由． 3．如图(1)，平面四边形ABCD中，CD＝4，AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，∠BCD＝30°，将三角形ABD沿BD翻折到三角形PBD的位置，如图(2)，平面PBD⊥平面BCD，E为PD中点． (1)求证：PD⊥CE； (2)求直线BE与平面PCD所成角的正弦值． 4　如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF. (1)证明：平面PEF⊥平面ABFD； (2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值． 1.4.4第三课时：立体几何中的探索性问题与翻折问题 1.解：(1)证明：以A为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图所示)．设AB＝a，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0，1,1)，E，B1(a,0,1)．故·＝－×0＋1×1＋(－1)×1＝0，∴B1E⊥AD1. (2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)，使得DP∥平面B1AE，此时＝(0，－1，z0)．设平面B1AE的法向量为n＝(x，y，z)．∵n⊥平面B1AE，∴n⊥，n⊥，得取x＝1，得平面B1AE的一个法向量为n＝.要使DP∥平面B1AE，只要n⊥，有－az0＝0，解得z0＝.又DP⊄平面B1AE，∴存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP＝. 2解：(1)证明：因为AE⊥A1B1，A1B1∥AB，所以AE⊥AB. 又因为AA1⊥AB，AA1∩AE＝A，所以AB⊥平面A1ACC1. 又因为AC⊂平面A1ACC1，所以AB⊥AC. 以点A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系A­xyz，则有A(0