用空间向量研究空间角问题校本作业-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.4.3 用空间向量研究空间角问题 班级_____ 姓名_______ 座号______ 一、选填题. 1.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是(　　) A.　　　B． C. D． 2． 若直线l的方向向量a＝(－2,3,1)，平面α的一个法向量n＝(4,0,1)，则直线l与平面α所成角的正弦值为________． 3．已知点A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,3)，则平面ABC与平面Oxy的夹角的余弦值为________． 二、解答题： 4．[例1]　(链接教材P39例10)四棱锥P­ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上． (1)证明：平面AEC⊥平面PDB； (2)当PD＝AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小． 5.如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB＝AD＝2，AA1＝，∠BAD＝120°. (1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值； (2)求平面A1BD与平面A1AD所成角的正弦值． 6.如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°. (1)证明：AB⊥A1C； (2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB＝2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值． 1．4.3 用空间向量研究空间角问题 一、选择题。 2． 解析：由题意，得直线l与平面α所成角的正弦值为＝＝. 答案： 3． 解析：由题意得＝(－1,2,0)，＝(－1,0,3)． 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)． 由知 令x＝2，得y＝1，z＝，则平面ABC的一个法向量为n＝. 因为平面Oxy的一个法向量为＝(0,0,3)， 所以平面ABC与平面Oxy的夹角的余弦值为＝. 三、解答题：4 [解]　(1)证明： 如图，以D为原点建立空间直角坐标系D­xyz，设AB＝a，PD＝h，则A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，D(0,0,0)，P(0,0，h)． ∵＝(－a，a,0)，＝(0,0，h)，＝(a，a,0)， ∴·＝0，·＝0， ∴AC⊥DP，AC⊥DB，又DP∩DB＝D，∴AC⊥平面PDB. 又AC⊂平面AEC，∴平面AEC⊥平面PDB. (