专题1.2 解直角三角形及其应用【九大题型】-2022-2023学年九年级数学下册举一反三系列（北师大版）

专题1.2 解直角三角形及其应用【九大题型】 【北师大版】 【题型1 网格中解直角三角形】 2 【题型2 坐标系中解直角三角形】 5 【题型3 直接解直角三角形】 12 【题型4 化斜为直解非直角三角形】 19 【题型5 在四边形中解直角三角形】 27 【题型6 解直角三角形的应用（坡度坡比问题）】 35 【题型7 解直角三角形的应用（俯角仰角问题）】 42 【题型8 解直角三角形的应用（方向角问题）】 50 【题型9 解直角三角形的应用（实物建模问题）】 55 【知识点1 直角三角形的边角关系】 （1） 两锐角关系： （2）三边关系：（勾股定理） （3）边角关系：， ， 【知识点2 解直角三角形的类型和解法】 已知条件 图形 解法 已知一直角边和一个锐角对边 邻边 斜边 A C B b 已知斜边和一个锐角 已知两直角边 已知斜边和一条直角边 【题型1 网格中解直角三角形】 【例1】（江苏省江阴市澄江片2022-2023学年九年级下学期期中考试数学试题）如图是由6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O）为120°，A、B、C都在格点上，则tan∠ABC的值是________________． 【答案】 【分析】如图，连接EA、EC，先证明∠AEC＝90°，E、A、B共线，再根据tan∠ABC＝，求出EC、EB即可解决问题． 【详解】解：如图，连接EA，EC， 设菱形的边长为a，由题意得∠CEF＝60°，∠BEF＝30°，CE＝a，AE＝，EB＝， ∴∠AEC＝90°， ∵∠ACE＝∠AGF＝60°， ∴∠EAB＝180°， ∴E、A、B共线， 在Rt△CEB中，tan∠ABC＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质、三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 【变式1-1】（2022年四川省广元市万达实验学校中考模拟数学试题）如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段AB与CD相交于点P，则∠APD的正切值为_______． 【答案】3 【分析】作M、N两点，连接CM，DN，根据题意可得CM∥AB，从而 可得∠APD＝∠NCD，然后先利用勾股定理的 逆定理证明是直角三角形，然后再利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：如图所示，作M、N点，连接CM、DN， 由题意得：CM∥AB， ∴∠APD＝∠NCD， 由题意得：，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴∠APD的正切值为：3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【变式1-2】（2022年福建省中考数学模拟试卷（六））如图，△ABC的三个顶点在边长为1的正方形网格的格点上，则sin=____． 【答案】 【分析】过点作于，过点作于，只需求得即可求得． 【详解】如图，过点作于，过点作于， 由图可得，，，，， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要是应用三角函数定义来解直角三角形．要注意直角三角函数的性质进行解题，本题易错点在于学生误认为． 【变式1-3】（2022年中考数学一轮复习讲练测（北京））如图所示的正方形网格中，，，是网格线交点，的度数为__． 【答案】45° 【分析】根据勾股定理和等积法求出线段长，再根据三角函数求出角度即可． 【详解】解：如图，连接，过作于， 根据勾股定理，得，． ， ， ， ． 在中，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形和等积法，解题关键是恰当的构造直角三角形，利用相关知识求解. 【题型2 坐标系中解直角三角形】 【例2】（2022·江苏·九年级专题练习）如图，直线y=x+3交x轴于A点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O，另两个顶点M、N恰落在直线y=x+3上，若N点在第二象限内，则tan∠AON的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过O作OC⊥AB于C，过N作ND⊥OA于D，设N的坐标是（x，x+3），得出DN=x+3，OD=-x，求出OA=4，OB=3，由勾股定理求出AB=5，由三角形的面积公式得出AO×OB=AB×OC，代入求出OC，根据sin45°=，求出ON，在Rt△NDO中，由勾股定理得出（x+3）2+（-x）2=()2，求出N的坐标，得出ND、OD，代入tan∠AON=求出即可． 【详解】过O作OC⊥AB于C，过N作ND⊥OA于D， ∵N在直线y=x+3上， ∴设N的坐标是（x，x+3）， 则DN=x+3，OD=-x， y=x+3， 当x=0时，y=3， 当y=0时，x=-4， ∴