专项18 一次函数与面积问题（3大技巧）-2022-2023学年八年级数学上册高分突破必练专题（北师大版）

专项18 一次函数与面积问题（3大技巧） 方法一：割补法 方法二： 坐标系内求三角形面积 过△ABC 三个顶点分别作与水平线垂直的三条直线，选定两条直线之间的距离 BE 叫做△ ABC 的水平宽，中间的直线与直线 BC 交得的 AD 长度叫做△ABC 的铅垂高 【典例1】（沙坪坝区校级月考）已知一次函数y＝﹣x+4与x轴、y轴的交点分别为A、B，点P在直线y＝2x上． （1）若点P是一次函数y＝﹣x+4的图象与直线y＝2x的交点，求△OBP的面积； （2）若△ABP的面积为12时，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）P点坐标为：（，）或（﹣，﹣） 【解答】解：（1）依题意，得A（4，0），B（0，4）． 由，解得：， ∴P（，）， ∴S△OBP＝•OB•xP＝×4×＝； （2）设P（x，2x），分两种情况： ①若点P在第一象限时，则x＞0， ∵S△ABP＝S△OAP+S△OBP﹣S△OAB ＝•OA•yP+•OB•xP﹣•OA•OB ＝×4×2x+×4×x﹣×4×4 ＝4x+2x﹣8 ＝6x﹣8， ∴6x﹣8＝12， 解得x＝， ∴P（，）； ②若点P在第三象限时，则x＜0， ∵S△ABP＝S△OAP+S△OBP+S△OAB， ＝×4×（﹣2x）+×4×（﹣x）+×4×4 ＝﹣4x﹣2x+8 ＝﹣6x+8， ∴﹣6x+8＝12， 解得x＝﹣， ∴P（﹣，﹣）． 综上所述，P点坐标为：（，）或（﹣，﹣）． 【变式1-1】（2019秋•鼓楼区期末）如图，直线PA是一次函数y＝x+1的图象，直线PB是一次函数y＝﹣2x+2的图象． （1）求A、B、P三点的坐标； （2）求四边形PQOB的面积． 【解答】（1） P（，） （2） 【解答】解：（1）∵一次函数y＝x+1的图象与x轴交于点A，∴A（﹣1，0）， 一次函数y＝﹣2x+2的图象与x轴交于点B，∴B（1，0）， 由，解得，∴P（，）． （2）设直线PA与y轴交于点Q，则Q（0，1），直线PB与y轴交于点M，则M（0，2）， ∴四边形PQOB的面积＝S△BOM﹣S△QPM＝×1×2﹣×1×＝． 【变式1-2】（2020春•南宁期末）平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别是（﹣4，0）、（0，2）． （1）求直线AB的解析式； （2）如图1，点P是直线AB上一点，若△AOP的面积是△AOB面积的2倍，求点P的坐标； （3）若点P满足（2）的条件，且在第一象限内，如图2．点M是y轴负半轴上一动点，连接PM，过点P作PN⊥PM，交x轴于点N．当点M运动时，（ON﹣OM）的值是否为定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）y＝x+2 （2点P（4，4）或（﹣12，﹣4）） （3）定值 【解答】解：（1）设直线AB解析式为：y＝kx+b， 由题意可得：， 解得：， ∴直线AB解析式为：y＝x+2； （2）设点P（a，a+2）， ∵△AOP的面积是△AOB面积的2倍， ∴2××4×2＝×4×|a+2|， ∴a＝﹣12或4， ∴点P（4，4）或（﹣12，﹣4）； （3）（ON﹣OM）的值为定值， 理由如下：如图，过点P作PE⊥y轴于E，PF⊥x轴于F， ∵点P（4，4）， ∴PE＝PF， ∵PE⊥y轴，PF⊥x轴，∠EOF＝90°， ∴四边形EOFP是矩形， ∴四边形EOFP是正方形， ∴EO＝OF＝PE＝PF＝4，∠EPF＝90°＝∠MPN， ∴∠EPM＝∠FPN， 又∵PE＝PF，∠PEM＝∠NPF， ∴△MPE≌△NPF（AAS）， ∴EM＝FN， ∴ON﹣OM＝OF+FN﹣（EM﹣EO）＝FO+EO＝8， ∴（ON﹣OM）的值为定值． 【典例2】（2021秋•龙华区期中）如图1，已知函数y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． （1）求直线BC的函数解析式； （2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．若△PQB的面积为，求点Q的坐标； 【解答】（1） y＝﹣x+3（2）Q的坐标为（，3﹣）或（﹣，3+） 【解答】解：（1）对于y＝x+3， 由x＝0得：y＝3， ∴B（0，3）． 由y＝0得：x+3＝0，解得x＝﹣6， ∴A（﹣6，0）， ∵点C与点A关于y轴对称． ∴C（6，0） 设直线BC的函数解析式为y＝kx+b， ∴，解得， ∴直线BC的函数解析式为y＝﹣x+3； （2）设点M（m，0），则点P（m，m+3），点Q（m，﹣m+3）， 过点B作BD⊥PQ与点D， 则PQ＝|﹣m+3﹣（m+3）|＝|m|，BD＝|m|， 则△PQB的面积＝PQ•BD＝m2＝，解得m＝±， 故点Q的坐标为（，3﹣）或（﹣，3+）； 【变式2】（2021秋•溧水区期末）如图，在平面直角坐标系