课后提升练(二) 数列的通项公式与递推公式（Word练习）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

课后提升练(二)　数列的通项公式与递推公式 [对应学生用书P73] 1．数列1，3，6，10，15，…的递推公式是(　　) A．an＋1＝an＋n(n∈N*) B．an＝an－1＋n(n≥2，n∈N*)，a1＝1 C．an＋1＝an＋(n－1)(n∈N*) D．an＝an－1＋(n－1)(n≥2，n∈N*)，a1＝1 B　解析：观察数列的前五项，发现相邻两项的后一项比前一项大后一项的序号数，故an＝an－1＋n(n≥2，n∈N*)，a1＝1. 2．数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5＝(　　) A． B． C． D． C　解析：由题意a1a2a3＝32，a1a2＝22，a1a2a3a4a5＝52，a1a2a3a4＝42，则a3＝＝，a5＝＝.故a3＋a5＝. 3．已知数列{an}满足要求a1＝1，an＋1＝2an＋1，则a5＝(　　) A．15 B．16 C．31 D．32 C　解析：∵数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，∴a2＝2×1＋1＝3，a3＝2×3＋1＝7，a4＝2×7＋1＝15，a5＝2×15＋1＝31. 4．已知a1＝1，an＝an－1＋3(n≥2，n∈N*)，则数列的通项公式为(　　) A．an＝3n＋1 B．an＝3n C．an＝3n－2 D．an＝3(n－1) C　解析：∵an＝an－1＋3，∴an－an－1＝3.∴a2－a1＝3，a3－a2＝3，a4－a3＝3，…，an－an－1＝3，以上各式两边分别相加，得an－a1＝3(n－1)，∴an＝a1＋3(n－1)＝1＋3(n－1)＝3n－2，故选C. 5．在数列{an}中，a1＝－2，an＋1＝，则a2 023＝(　　) A．－2 B．－ C． D．3 C　解析：∵a1＝－2，an＋1＝，∴a2＝－，a3＝，a4＝3，a5＝－2.∴该数列是周期为4的周期数列，又∵2 023＝505×4＋3，∴a2 021＝a3＝. 6．已知数列{an}的通项公式an＝n2－4n－12(n∈N*)，则这个数列的第4项是________；65是这个数列的第________项． －12　11　解析：由a4＝42－4×4－12＝－12，得第4项是－12； 由an＝n2－4n－12＝65，解得n＝11或n＝－7(舍去)，故65是第11项． 7．已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝an，得an＝________． 　解析：由条件知＝，分别令n＝1，2，3，…，n－1，代入上式得n－1个等式，即···…·＝×××…×⇒＝.又∵a1＝，∴an＝. 8．根据下列5个图形中相应点的个数的变化规律，猜测第n个图形中有________个点． n2－n＋1　解析：观察图中5个图形点的个数分别为1，1×2＋1，2×3＋1，3×4＋1，4×5＋1，故第n个图中点的个数为(n－1)n＋1. 9．根据下列条件，写出数列的前四项，并归纳猜想它的通项公式． (1)a1＝0，an＋1＝an＋2n－1(n∈N*)； (2)a1＝1，an＋1＝an＋(n∈N*)； (3)a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N*). 解：(1)a1＝0，a2＝1，a3＝4，a4＝9.猜想an＝(n－1)2(n∈N*). (2)a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝.猜想an＝(n∈N*). (3)a1＝2，a2＝3，a3＝5，a4＝9.猜想an＝2n－1＋1(n∈N*). 10．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n＋1，n∈N*，求它的通项公式． 解：当n＝1时，a1＝S1＝0； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n＋1－[2(n－1)2－3(n－1)＋1]＝4n－5， 故an＝ 11．(多选)南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设各层球数构成一个数列{an} ，则(　　) A．a4＝12 B．an＋1＝an＋n＋1 C．a100＝5 050 D．2an＋1＝anan＋2 BC　解析：由题意知，a1＝1，a2＝3，a3＝6，…，an＝an－1＋n，故an＝，所以a4＝＝10，故A错误；an＋1＝an＋n＋1，故B正确；a100＝＝5 050，故C正确；2an＋1＝(n＋2)(n＋1)，anan＋2＝，显然2an＋1≠anan＋2，故D错误． 12．数列{an}中，a1＝2，an＝2an－1(n∈N*，2≤n≤10)，则数列{an}的最大项为________． 1 024　解析：∵a1＝2，an＝2an－1，∴an≠0，∴＝2>1，∴an>an