课后提升练(十) 等比数列前n项和的实际应用（Word练习）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

课后提升练(十)　等比数列前n项和的实际应用 [对应学生用书P89] 1．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(　　) A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 B　解析：设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则依题意S7＝381，公比q＝2，∴＝381，解得a1＝3. 2．某企业在今年年初贷款a万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计5年还清，则每年应偿还(　　) A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 B　解析：根据已知条件知本题属于分期付款问题，设每年应偿还x万元，则x[(1＋γ)4＋(1＋γ)3＋…＋1]＝a(1＋γ)5，∴x·＝a(1＋γ)5，故x＝(万元). 3．河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．在龙门石窟的某处“浮雕象”共有7层，每一层的数量是它下一层的2倍，这些“浮雕象”构成一幅优美的图案．已知该处共有1 016个“浮雕象”，则正中间那层的“浮雕象”的数量为(　　) A．508 B．256 C．128 D．64 D　解析：根据题意，可知从最下层往上“浮雕象”每层的数量构成一个公比为2等比数列{an}，设最下层的浮雕数量为a1，则由S7＝＝1 016，解得a1＝8，所以正中间那层为第4层，其“浮雕象”的数量a4＝8×23＝64.故选D. 4．(2022·昭通月考)某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，已知第五实验室比第二实验室的改建费用高28万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高112万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1 100万元．则该研究所建这十个实验室投入的总费用最多需要(　　) A．2 806万元 B．2 906元 C．3 106万元 D．3 206万元 A　解析：设每个实验室的装修费用为x万元，设备费从第一到第十实验室构成的等比数列为{an}(n＝1，2，…，10)，公比为q，则即解得 ∴a10＝a1q9＝2×29＝210＝1 024， 依题意，x＋1 024≤1 100，解得x≤76， ∴该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多为10x＋a1＋a2＋…＋a10≤760＋＝2 806， 即该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要2 806万元. 5．衡量病毒传播能力的一个重要指标叫做传播指数R0.它指的是在自然情况下(没有外力介入，同时所有人都没有免疫)，一个感染某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的平均数．它的简单计算公式是：R0＝1＋确诊病例增长率×系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中两例连续病例的间隔时间(单位：天).根据统计，某种传染病确诊病例的平均增长率为25%，两例连续病例的间隔时间的平均天数为4天，根据以上数据计算，若甲得这种传染病，则经过6轮传播后由甲引起的得病的总人数约为(　　) A．30 B．62 C．64 D．126 D　解析：由题意得，R0＝1＋25%×4＝2，所以经过6轮传播后由甲引起的得病的总人数约为 2＋22＋23＋24＋25＋26＝＝126. 6．如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1 023个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为______． 　解析：由题意，得正方形的边长构成以为首项，以为公比的等比数列，现已知共得到1 023个正方形，则有1＋2＋…＋2n－1＝1 023，∴n＝10，∴最小正方形的边长为×()9＝. 7．某家用电器一件现价2 000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期为一月，购买后一个月开始付款，每月付款一次，共付12次，购买后一年还清，月利率为0.8%，按复利计算，那么每期应付款多少？(参考数据：1.00812≈1.1) 解：设每期应付款x元，则第1期付款到最后一次付款时的本息和为x(1＋0.008)11，第2期付款到最后一次付款时的本息和为x(1＋0.008)10，…，第12期付款没有利息，所以各期付款连同利息之和为x(1＋0.008)11＋x(1＋0.008)10＋…＋x＝x. 又所购电器的现价及其利息之和为2 000×1.00812， 于是有x＝2 000×1.00812. 解得x＝≈176(元).所以每期应付款176元