4.3.2 第2课时 等比数列前n项和的实际应用（课件PPT）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

4．3　等比数列 第四章　数　列 4．3.2　等比数列的前n项和 第2课时　等比数列前n项和的实际应用 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册（A） 第四章　数　列 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册（A） 第四章　数　列 栏目索引 高效课堂 达标训练 关键能力 互动探究 关键能力 互动探究 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册（A） 第四章　数　列 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册（A） 第四章　数　列 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册（A） 第四章　数　列 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册（A） 第四章　数　列 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册（A） 第四章　数　列 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册（A） 第四章　数　列 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册（A） 第四章　数　列 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册（A） 第四章　数　列 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册（A） 第四章　数　列 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册（A） 第四章　数　列 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册（A） 第四章　数　列 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册（A） 第四章　数　列 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册（A） 第四章　数　列 高效课堂 达标训练 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册（A） 第四章　数　列 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册（A） 第四章　数　列 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册（A） 第四章　数　列 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册（A） 第四章　数　列 课后提升练(十)　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册（A） 第四章　数　列 谢谢观看！ 课程标准 核心素养目标 能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题． 掌握利用等比数列前n项和求解几何和增长率问题．(数学建模，数学运算) [对应学生用书P26] 知识点一 等比数列前n项和在几何中的应用 把一个边长为1的正方形等分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖掉(如图①)；再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个正方形挖掉(如图②)；如此继续下去． (1)如图③中共挖掉了________个正方形； (2)第n个图形共挖掉了________个正方形，这些正方形的面积和是________． (1)73　(2) eq \f(8n－1,7) 　1－( eq \f(8,9) ) n　解析：设第n个图形共挖掉an个正方形，则a1＝1，a2－a1＝8，a3－a2＝82，…，an－an－1＝8n－1，所以an＝1＋8＋82＋…＋8n－1＝ eq \f(8n－1,7) .故(1)图③中共挖掉了 eq \f(83－1,7) ＝73个正方形； (2)第n个图形共挖掉了 eq \f(8n－1,7) 个正方形．由于原正方形的边长为1，则这些被挖掉的正方形的面积和为1×( eq \f(1,3) )2＋8×( eq \f(1,3) )4＋82×( eq \f(1,3) )6＋…＋8n－1×( eq \f(1,3) )2n＝ eq \f(\f(1,9)[1－（\f(8,9)）n],1－\f(8,9)) ＝1－( eq \f(8,9) )n. [探究] 本例中若一直继续下去，则这些被挖掉的正方形面积之和趋近于多少？ 解：由本例解法，设被挖掉的正方形面积之和为Sn，则Sn＝1－( eq \f(8,9) )n，由于一直继续下去，即n无限增大时，( eq \f(8,9) )n无限趋近于0，此时被挖掉的正方形面积之和趋近于1. 解决此类问题的关键是准确将问题转化为等比数列模型，再利用等比数列的相关知识求解． 作边长为3的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后再作新三角形的内切圆．如此下去，则前n个内切圆的面积为(　　) A． eq \f(1,3) (1－ eq \f(1,4n) )π B．(1－ eq \f(1,4n) )π C．(1－ eq \f(1,4n－1) )π D．3(1－ eq \f(1,4n) )π B　解析：设第n个正三角形的内切圆半径为an，因为从第二个正三角形开始，每个正三角形的边长是前一个的 eq \f(1,2) ，每个正三角形的内切圆半径也是前一个正三 角形内切圆半径的 eq \f(1,2) ，所以a1＝ eq \f(1,2) ×3×tan 30°＝ eq \f(\r(3),2) ，a2＝ eq \f(1,2) a1，a3＝ eq \f(1,2) a2，…