第6章 空间向量与立体几何 章末小结与质量评价（学案）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第二册（苏教版2019）

XINKECHENG XUEAN|第6章空间向量与立体几何 第6章 章末小结与质量评价 一、系统认知·形成数学思维 (一)贯通知识体系和联系 代数的联系，体现了数形结合的重要思想.向量 空间向量 具有数形兼备的特点，因此，它能将几何中的 加诚运算 “形”和代数中的“数”有机地结合在一起 数乘运算 空间向量及其运算 2.转化与化归思想：空间向量的坐标及运 共线向量与共面向量 算为解决立体几何中的夹角、距离、垂直、平行 数量积运算 向量运算的坐标表示 等问题提供了方法，因此我们要善于把这些问 题转化为向量的夹角、模、垂直、平行等问题，利 线线平行 平行 线面平行 用向量方法解决.一般地，先将几何问题转化为 量 直线的方 证 面面平行 向量问题，然后利用向量的性质进行运算和论 线线垂直 证，再将结果转化为几何问题，这种“从几何到 与立 立体几何中的向量方法 垂直 线面垂直 向量，再从向量到几何”的思想方法，在本章尤 体 向量与平 面面垂直 为重要 几 异面直线的夹角 何 线面角 [自我小结] 二面角 算 点线距 距离 线面距 面面距 (二)把握数学思想和方法 1.数形结合思想：向量方法是解决立体几 何问题的一种重要方法，坐标是研究向量问题 的有效工具，利用空间向量的坐标表示可以把 向量问题转化为代数运算，从而建立了几何与 二、把握重点·常考题型集训 题型一空间向量的运算 上，且AN=2ND.设AB=a,AD=b,AA,= 1.已知a=(2,3,-4),b=(-4,-3,-2),b= c,则Mi= () 1 x-2a,则x= ( A.- b+3 1 3a+ A.(0,3,-6) B.(0,6,-20) C.(0,6,-6) D.(6,6,-6) B.a+3b-3c 2.如图，在平行六面体ABCD 1 2 AB,CD中，点M在AC上， C.3a b- 3 且AM=2MC,点N在A,D D. 3a+b c 了35 SJ数学选择性必修第二册XINKECHENG XUEAN 3.如图，在平行六面体ABCD 、 题型二空间向量与线面位置关系 A'B'CD'中，AB=4,AD=3, 如图所示，已知正方形ABCD AA'=5,∠BAD=90°， 和矩形ACEF所在的平面互 ∠BAA'=∠DAA'=60°.求： 相垂直，AB=√2，AF=1,M是 (1)AA'·AB: 线段EF的中点.求证： (1)AM∥平面BDE; (2)AB的长； (2)AM⊥平面BDF. (3)AC'的长. [题型技法] 利用空间向量证明空间中的位置关系 (1)线线平行 证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向 量是共线向量 (2)线线垂直 证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向 量垂直。 (3)线面平行 ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； ②证明在平面内找到一个向量与直线的方向向量 是共线向量： ③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量可 用平面内两不共线向量线性表示！ (4)线面垂直 ①证明直线的方向向量与平面的法向量平行： [题型技法] ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直 空间向量的数乘运算及向量共面的充要条件 问题」 (1)空间向量的数乘运算、共线向量的概念、向量 (5)面面平行 共线的充要条件与平面向量的性质是一致的 ①证明两个平面的法向量平行（即是共线向量）； (2)利用向量共面的充要条件可以判断第三个向 ②转化为线面平行、线线平行问题， 量是否与已知的两个不共线的向量共面，特别地，空 (6)面面垂直 间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实 ①证明两个平面的法向量互相垂直； 数对(x,y),使AP=xAB十yAC ②转化为线面垂直、线线垂直问题 36） XINKECHENG XUEAN|第6章空间向量与立体几何 :4.(2022·北京高考)如图，在三棱柱 题型三空间向量与空间角 1.已知在正四面体ABCD中，E为棱AD的中 ABCA1B,C1中，侧面BCCB 点，则CE与平面BCD的夹角的正弦值为 为正方形，平面BCC,B,⊥平面 ABB,A1,AB=BC=2,M,N分 ( 别为AB1,AC的中点. A号 B号 c n (1)求证：MN∥平面BCCB; 2.如图，等边三角形ABC与正方形ABDE有一 (2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一 个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角 公共边AB,二面角CABD的余弦值为 的正弦值。 M,N分别是AC,BC的中 条件①：AB⊥MN; 点，则EM,AN所成角的余 条件②：BM=MN. 弦值为 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第 3.(2022·新高考I卷)如图，直三棱 一个解答计分. 柱ABCA1B,C1的体积为4， △ABC的面积为2√2. (1)求A到平面A1BC的 距离； (2)设