专题18 全等三角形-备战2023年中考数学一轮复习之必考点题型全归纳与分层精练（全国通用）

专题18 全等三角形 【专题目录】 技巧1：全等三角形判定的三种类型 技巧2：构造全等三角形的六种常用方法 技巧3：证明三角形全等的四种思路 【题型】一、全等三角形的性质 【题型】二、全等三角形的判定（SSS） 【题型】三、全等三角形的判定（SAS） 【题型】四、全等三角形的判定（AAS） 【题型】五、全等三角形的判定（ASA） 【题型】六、全等三角形的判定（HL） 【题型】七、全等三角形综合问题 【题型】八、角平分线的判定定理 【考纲要求】 1、了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素 2、掌握并能应用“边角边”、“角边角”、“角角边”、“边边边”四种方法判断全等 【考点总结】一、全等三角形及其性质 全等三角形及其性质 全等图形概念 能完全重合的图形叫做全等图形. 特征：①形状相同。②大小相等。③对应边相等、对应角相等。 全等三角形概念 两个能完全重合的三角形叫做全等三角形. 表示方法：全等用符号“≌”，读作“全等于”。书写三角形全等时，要注意对应顶点字母要写在对应位置上。 全等变换定义：只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小的变换。 变换方式（常见）：平移、翻折、旋转。 全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等。 【考点总结】二、全等三角形的判定 全等三角形的性质与判定 概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 性质 全等三角形的对应边、对应角分别相等． 判定 (1)有三边对应相等的两个三角形全等，简记为(SSS)； (2)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为(SAS)； (3)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为(ASA)； (4)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为(AAS)； (5)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为(HL)． 角平分线 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等； 判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上． 三角形中角平分线的性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这点到三条边距离相等。 【技巧归纳】 技巧1：全等三角形判定的三种类型 【类型】一、已知一边一角型 题型1：一次全等型 1．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，连接AD，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，且BE＝CF. 求证：AD是△ABC的中线． 题型2：两次全等型 2．如图，∠C＝∠D，AC＝AD.求证：BC＝BD. 【类型】二、已知两边型 题型1：一次全等型 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F，试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说明理由． 题型2：两次全等型 4．如图，A，F，E，B四点共线，AC⊥CE，BD⊥DF，AE＝BF，AC＝BD.求证：△ACF≌△BDE. 【类型】三、已知两角型 题型1：一次全等型 5．如图，已知∠BDC＝∠CEB＝90°，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC，BE＝CD.求证：OB＝OC. 题型2：两次全等型 6．如图，在△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠BAC＝∠CDB，∠ACB＝∠DBC，分别延长BA与CD交于点F.求证：BF＝CF. 参考答案 1．证明：∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED＝∠CFD＝90°. 又∵∠BDE＝∠CDF，BE＝CF，∴△DBE≌△DCF. ∴BD＝CD.∴D是BC的中点，即AD是△ABC的中线． 2．证明：过点A作AM⊥BC，AN⊥BD，分别交BC，BD的延长线于点M，N.∴∠M＝∠N＝90°. ∵∠ACB＝∠ADB，∴∠ACM＝∠ADN. 在△ACM和△ADN中， ∴△ACM≌△ADN(AAS)．∴AM＝AN，CM＝DN. 在Rt△ABM和Rt△ABN中， ∴Rt△ABM≌Rt△ABN(HL)． ∴BM＝BN.∴BM－CM＝BN－DN，即BC＝BD. 3．解：BF⊥AE.理由如下： ∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠BCD＝90°. 又∵BC＝AC，BD＝AE，∴Rt△BDC≌Rt△AEC(HL)． ∴∠CBD＝∠CAE. 又∵∠CAE＋∠E＝90°，∴∠EBF＋∠E＝90°. ∴∠BFE＝90°，即BF⊥AE. 4．证明：∵AC⊥CE，BD⊥DF，∴∠ACE＝∠BDF＝90°. 在Rt△ACE和Rt△BDF中， ∴Rt△ACE≌Rt△BDF(HL)．∴∠A＝∠B. ∵AE＝BF，∴AE－EF＝BF－EF，即AF＝BE. 在△ACF和△BDE中， ∴△ACF≌△BDE(SAS)． 5．证明：∵∠BDC＝∠CEB＝90°，