专题19 等腰三角形-备战2023年中考数学一轮复习之必考点题型全归纳与分层精练（全国通用）

专题19 等腰三角形 【专题目录】 技巧1:等腰三角形中四种常用作辅助线的方法 技巧2:巧用特殊角构造含30°角的直角三角形 技巧3:分类讨论思想在等腰三角形中的应用 【题型】一、等腰三角形的定义 【题型】二、根据等边对等角求角度 【题型】三、根据三线合一求解 【题型】四、根据等角对等边证明等腰三角形 【题型】五、根据等角对等边求边长 【题型】六、等腰三角形性质与判定的综合 【题型】七、等边三角形的性质 【题型】八、含30°角的直角三角形 【考纲要求】 1.了解等腰三角形的有关概念,掌握其性质及判定. 2.了解等边三角形的有关概念,掌握其性质及判定. 3.掌握线段中垂线的性质及判定. 【考点总结】一、等腰三角形 等腰三角形 等腰三角形概念 有两边相等的三角形角等腰三角形。 等腰三角形性质 1:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”) 2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。(三线合一) 等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”). 【考点总结】二、等边三角形 等边三角形 等边三角形概念 三条边都相等的三角形,叫等边三角形。它是特殊的等腰三角形。 等边三角形性质和判定 (1)等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60º。 (2)三个角都相等的三角形是等边三角形。 (3)有一个角是60º的等腰三角形是等边三角形。 (4)在直角三角形中,如果一个锐角等于30º,那么它所对的直角边等于斜边的一半。 (补充: (1)三角形三个内角的平分线交于一点,并且这一点到三边的距离等。 (2)三角形三个边的中垂线交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。 (3)常用辅助线:①三线合一;②过中点做平行线 【考点总结】三、直角三角形 直角三角形 直角三角形性质 ①直角三角形的两锐角互余; ②直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半; ③直角三角形中,斜边上的 中线长等于斜边长的一半. 直角三角形判定 有一个角是直角的三角形是直角三角形. 勾股定理及其逆定理 ①勾股定理:直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方; ②勾股定理的逆定理:若一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方,则这个三角形是直角三角形. 【技巧归纳】 技巧1:等腰三角形中四种常用作辅助线的方法 【类型】一、作“三线”中的“一线” 1.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,过点A作EF∥BC,且AE=AF.求证:DE=DF. 【类型】二、作平行线法 2.如图,在△ABC中,AB=AC,点P从点B出发沿线段BA移动,同时,点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动,点P,Q移动的速度相同,PQ与直线BC相交于点D. (1)如图①,当点P为AB的中点时,求证:PD=QD. (2)如图②,过点P作直线BC的垂线,垂足为E,当P,Q在移动的过程中,线段BE,ED,CD中是否存在长度保持不变的线段?请说明理由. 【类型】三、截长补短法 3.如图,在△ABC中,AB=AC,D是△ABC外一点,且∠ABD=60°,∠ACD=60°.求证:BD+DC=AB. 【类型】四、加倍折半法 4.如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AD⊥BC于D,且AB+BD=DC,求∠C的度数. 5.如图,CE,CB分别是△ABC,△ADC的中线,且AB=AC.求证:CD=2CE. 参考答案 1.证明:如图,连接AD. ∵AB=AC,BD=CD, ∴AD⊥BC. ∵EF∥BC,∴AD⊥EF. ∵AE=AF, ∴AD垂直平分EF. ∴DE=DF. 2.(1)证明:如图①,过点P作PF∥AC交BC于F.∵点P和点Q同时出发,且速度相同,∴BP=CQ.∵PF∥AQ,∴∠PFB=∠ACB,∠DPF=∠DQC.又∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,∴∠B=∠PFB,∴BP=FP,∴FP=CQ.在△PFD和△QCD中,∠DPF=∠DQC,∠PDF=∠QDC,FP=CQ,∴△PFD≌△QCD(AAS),∴PD=QD. (2)解:线段ED的长度保持不变.理由如下:如图②,过点P作PF∥AC交BC于F.由(1)知PB=PF.∵PE⊥BF,∴BE=EF.由(1)知△PFD≌△QCD,∴FD=CD,∴ED=EF+FD=BE+CD=BC,∴线段ED的长度保持不变. 3.证明:如图,延长BD至E,使BE=AB,连接CE,AE. ∵∠ABE=60°,BE=AB, ∴△ABE为等边三角形. ∴∠AEB=60°,AB=AE. 又∵∠ACD=60°, ∴∠ACD=∠AEB. ∵AB=AC,AB=AE, ∴AC=AE. ∴∠ACE=∠AEC. ∴∠DCE=∠DEC.∴DC=DE. ∴AB=BE=BD+DE=BD+DC,即BD+DC=AB. 4.解:在DC上截