24.2.3 圆心角、弧、弦、弦心距间关系-2022-2023学年九年级数学下册同步教学课件（沪科版）

圆心角、弧、弦、弦心距间关系 24.2.3 圆心角、弧、弦、弦心距间关系 学习目标 1. 结合图形了解圆心角的概念，掌握圆心角的相关性质. 2. 能够发现圆心角、弧、弦、弦心距间关系，并会初步运用这些关系解决有关问题 (重点、难点)． 24.2.3 圆心角、弧、弦、弦心距间关系 飞镖靶、闹钟以及被均分的蛋糕等圆形中，都存在着角，那么这些角有什么共同的特征呢？ 情境引入 24.2.3 圆心角、弧、弦、弦心距间关系 3 讲授新课 圆的对称性 用准备好的两个透明等圆探究实验： 问题1 在同一个圆中，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转 到∠A′OB′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？ 问题2 在等圆中，能否也能得出类似的结论呢？ 24.2.3 圆心角、弧、弦、弦心距间关系 4 把圆绕圆心旋转任意一个角度，仍与原来的圆重合吗？ O α 圆是旋转对称图形，具有旋转不变性，旋转中心为圆心. · 24.2.3 圆心角、弧、弦、弦心距间关系 圆心角 O A B M 1. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如∠AOB . 3. 圆心角 ∠AOB所对的弦为AB. 2. 圆心角 ∠AOB 所对的弧为 AB. ⌒ 24.2.3 圆心角、弧、弦、弦心距间关系 判断下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由. 不是 不是 不是 是 练一练 24.2.3 圆心角、弧、弦、弦心距间关系 圆心角、弧、弦、弦心距间关系 在☉O中，如果∠AOB= ∠COD，那么，AB与CD， 弦AB与弦CD，弦心距OE与OF有怎样的数量关系？ ⌒ ⌒ · O A B C D 由圆的旋转对称性，我们发现： 在☉O中，如果∠AOB= ∠COD， 那么， ，AB=CD，OE=OF. E F 24.2.3 圆心角、弧、弦、弦心距间关系 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等． ①∠AOB=∠COD ②AB=CD ⌒ ⌒ ③AB=CD A B O D C 弧、弦与圆心角的关系定理 E F ④OE=OF 24.2.3 圆心角、弧、弦、弦心距间关系 想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？ 不可以，如图. A B O D C 24.2.3 圆心角、弧、弦、弦心距间关系 同样，还可以得到： 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等， 所对的弦相等； 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等． 在同圆或等圆中 圆心角相等 弧相等 弦相等 弦心距相等 ． 24.2.3 圆心角、弧、弦、弦心距间关系 如图，等边三角形 ABC 的三个顶点都在☉O上. 求证：∠AOB=∠BOC=∠COA=120°. A B C O 证明：连接OA，OB，OC，如图. ∵ AB=BC=CA， ∴∠AOB =∠BOC =∠COA 例1 例题解析 24.2.3 圆心角、弧、弦、弦心距间关系 ∴ AB = AC，△ABC 是等腰三角形. 又∵∠ACB = 60°， ∴△ABC 是等边三角形，AB = BC = CA. ∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC. A B C O 方法总结：弧、圆心角、弦之间等量关系的灵活转化是解决圆相关问题的重要法宝. 【变式题】如图，在☉O 中， = ，∠ACB = 60°， 求证：∠AOB =∠BOC =∠AOC. 证明：∵ = ， 24.2.3 圆心角、弧、弦、弦心距间关系 例2 已知：如图2，AB、CD是⊙O的弦，且AB与CD不平行，M、N分别是AB、CD的中点，AB=CD，那么∠AMN与∠CNM的大小关系是什么？为什么？ 解：连结OM、ON， ∵M、N分别为弦AB、CD的中点， ∴∠AMO=∠CNO=90° ∵ AB=CD ∴ OM=ON ∴∠OMN=∠CNM ∴∠AMN=∠CNM 24.2.3 圆心角、弧、弦、弦心距间关系 例3 已知：如图，点O是∠FAD平分线上的一点，☉O分别交∠FAD的两边于点C，D和点E，F. 求证：CD=EF. O A D E F C 证明：过点O作OK⊥CD，OH⊥EF， 垂足分别为K，H，如图. H K ∵OK=OH，（角平分线性质） ∴CD=EF. 24.2.3 圆心角、弧、弦、弦心距间关系 例4 如图，AB，CD是☉O的两条直径