24.2.2 垂径分弦-2022-2023学年九年级数学下册同步教学课件（沪科版）

垂径分弦 24.2.2 垂径分弦 学习目标 1. 进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 2. 理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决 一些简单的计算、证明和作图问题.（重点） 3. 灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点） 24.2.2 垂径分弦 知识回顾： 1.如图所示，AB是⊙O的直径，AC是弦， O A B C （1）若∠B=40 ° ，则∠AOC=______ （2）若∠AOC=70 ° ，则∠B=______ 2.如图所示：在△ABC中， ∠C=90 ° ， C A B （1）AB=10，BC=6，则AC=________ （2）AC=6，BC=2，则AB=________ 80° 35° 8 24.2.2 垂径分弦 问题 ：你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？ 赵州桥主桥拱的半径是多少？ 24.2.2 垂径分弦 讲授新课 垂径定理及其推论 问题1 在纸上任意画一个⊙O，沿⊙O的一条直径将⊙O折叠，你发现了什么？ O 圆是轴对称图形，对称轴是圆所在平面内任意一条过圆心的直线. 24.2.2 垂径分弦 5 圆的对称性及特性 圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心. 用旋转的方法可以得到: 一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合. 这是圆特有的一个性质:圆的旋转不变性 ●O 24.2.2 垂径分弦 问题2 已知：如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，垂足为E. 求证：AE=EB， （或 ）. · O A B D E C 证明：连接OA，OB，则OA=OB. △OAB为等腰三角形， 所以底边AB上的高OE所在直线CD是AB的垂直平分线， 因此点A与点B关于直线CD对称. 24.2.2 垂径分弦 同理，如果点P是⊙O上任意一点，过点P作直线CD的垂线，与⊙O相交于点Q，则点P与点Q关于直线CD也对称， 所以⊙O关于直线CD对称. 当把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，AE与BE重合， 点A与点B重合， 与 重合， 与 重合. 因此 AE=EB， ， . P · O A B D E C Q 24.2.2 垂径分弦 垂径定理： · O A B C D E 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧. ∵ CD是直径，CD⊥AB， ∴ AE=BE， ⌒ ⌒ AC =BC， AD =BD. ⌒ ⌒ 推导格式： 温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如. 归纳总结 24.2.2 垂径分弦 想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？ 如果不是，请说明为什么. 是 不是，因为没有垂直 是 不是，因为 AB，CD 都不是直径 O A B C A B O E A B D C O E A B O C D E 24.2.2 垂径分弦 垂径定理的几种基本图形： A B O C D E A B O E D A B O D C A B O C 归纳总结 24.2.2 垂径分弦 如果直径平分弦（不是直径），那么该直径垂直于这条弦，且平分这条弦所对的两条弧吗？ 思考： 24.2.2 垂径分弦 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE. (1) CD⊥AB吗？为什么？ (2) · O A B C D E AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 解：(1)CD⊥AB，理由如下： 连接AO，BO，如图，则AO=BO. 又∵AE=BE，OE=OE， ∴△AOE≌△BOE（SSS）. ∴∠AEO=∠BEO=90°， ∴CD⊥AB. (2)由垂径定理可得AC =BC， AD =BD. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 例1 24.2.2 垂径分弦 思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理的推论 · O A B C D 特别说明： 圆的两条直径是互相平分的. 归纳总结 24.2.2 垂径分弦 如图， ⊙ O的半径为5 cm，弦AB为6 cm, 求圆心 O到弦AB的距离. 解: 连接OA，过圆心O作OE丄AB,垂足为E，则 AE=EB= AB = ×6=3(cm). 又 ∵ OA =5 cm, ∴在Rt △OEA中，有 OE