专题20 运用裂项相消法求和-2023年高考数学微专题复习（新高考地区专用）

专题20 运用裂项相消法求和 一、真题剖析 【2022年新高考1卷】记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 【试题情景】本题属于课程学习情景，本题以数列的通项公式以及数列的求和。 【必备知识】本题考查的主要是利用裂项求和，掌握常见的裂项分方法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．常见的裂项技巧 ①＝－. ②＝. ③＝. ④＝－. ⑤＝. 【能力素养】本题考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力，考查的学科素养是理想思维和数学探索，（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式； （2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得. 【解析】(1)∵，∴,∴, 又∵是公差为的等差数列， ∴,∴, ∴当时，， ∴, 整理得：, 即, ∴ ， 显然对于也成立， ∴的通项公式； (2) ∴ 二、题型选讲 例1、（2022·广东东莞·高三期末）龙曲线是由一条单位线段开始，按下面的规则画成的图形：将前一代的每一条折线段都作为这一代的等腰直角三角形的斜边，依次画出所有直角三角形的两段，使得所画的相邻两线段永远垂直（即所画的直角三角形在前一代曲线的左右两边交替出现）.例如第一代龙曲线（图3）是以为斜边画出等腰直角三角形的直角边，所得的折线图，图4、图5依次为第二代、第三代龙曲线（虚线即为前一代龙曲线）.，，为第一代龙曲线的顶点，设第代龙曲线的顶点数为，由图可知，，，则_____；数列的前项和________. 【答案】 【分析】 根据题意并观察图形即可得到的值；对已知的数据进行分析，可得，进而可得，再采用裂项相消，即可求出结结果. 【详解】 由题意可，观察可知， ； 由……易知， 所以， 所以. 故答案为：，. 例2、（2022·河北唐山·高三期末）已知是数列的前n项和，，且． (1)证明：为常数列； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】 【分析】 （1）由已知得，即，利用与的关系化简可得化简即可得出结果. （2）由（1）可得，化简可知，通过裂项求和可得出结果. (1) 由已知得，即， 时，由，，两式相减得， 则，又 于是为常数列． (2) 由（1）得． 则， 故． 例3、（2022·山东省淄博实验中学高三期末）已知数列的前项和，满足：，，． (1)证明：数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【解析】 【分析】 (1)利用给定的递推公式变形即可推理作答. (2)由(1)求出的表达式，再借助裂项相消法计算作答. (1) 数列的前项和，由，有，而， 所以是以2为首项，2为公比的等比数列. (2) 由(1)知，，于是得， 因此，， 所以. 例4、(2022·泰州中学期初考试)(12分)已知数列满足:，，N*且≥. （1）求证: 数列为等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）设，求数列的前项和. （1）证明： 又 ∴数列是以首项为，公差为的等差数列 （2）由（1）得， （3）解： 例5、(2022·湖北华中师大附中等六校开学考试联考)已知数列是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）设的公差为，，根据，且，，成等比数列，列出方程，求出首项和公差，即可求出数列的通项公式． （2）利用裂项相消法求出数列的前n项和． 【详解】解：（1）设的公差为，， 因为，，成等比数列，，可得， ， ，，又，解得，，． （2） ． 例6、(2022·湖北省新高考联考协作体高三起点考试)已知数列为等差数列，且公差不为0，，是与的等比中项． (1)求数列的通项公式， (2)记，求数列的前项之和． 【答案】(1)；(2)． 【解析】 【分析】(1)利用等差数列通项公式结合已知条件列方程求数列的首项和公差，由此可得数列的通项公式；(2)由(1)可得，利用裂项相消法求. 【详解】解：(1)设数列的公差为，由已知得： 即，又∴∴ (2)∵ ∴ 三、追踪训练 1、（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）已知数列{an}的前n项和为Sn，且2an－Sn＝2，记数列的前n项和为Tn，若对于任意n∈N*，不等式k＞Tn恒成立，则实数k的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 先求得，然后利用裂项求和法求得，进而求得的取值范围. 【详解】 依题意， 当时，， ，两式相减并化简得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，. ， 所以 ， 所以的取值范围