1.3 空间向量及其运算的坐标表示-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版教程】作业与测评全书word（人教A版）

1.3　空间向量及其运算的坐标表示 1．3.1　空间直角坐标系 1．3.2　空间向量运算的坐标表示 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一 空间直角坐标系及空间向量的坐标 1.已知O为坐标原点，＝2a＋b＋3c，其中a＝4i＋2j，b＝2j＋3k，c＝3k－j，则向量在基底{i，j，k}下的坐标为(　　) A．(7，3，12) B．(3，7，12) C．(2，4，6) D．(8，3，12) 答案　D 解析　＝2a＋b＋3c＝8i＋4j＋2j＋3k＋9k－3j＝8i＋3j＋12k，∴向量在基底{i，j，k}下的坐标为(8，3，12)． 2.[多选]如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则(　　) A．点B1的坐标为(4，5，3) B．点C1关于点B对称的点为(5，8，－3) C．点A关于直线BD1对称的点为(0，5，3) D．点C关于平面ABB1A1对称的点为(8，5，0) 答案　ACD 解析　由图形及已知可得，点B1的坐标为(4，5，3)，点C1(0，5，3)关于点B对称的点为(8，5，－3)，点A关于直线BD1对称的点为C1(0，5，3)，点C(0，5，0)关于平面ABB1A1对称的点为(8，5，0)，因此A，C，D正确．故选ACD. [名师点拨]　求点关于坐标轴或坐标平面对称的点的坐标，其规律是“关于谁对称，谁不变”，如点(x，y，z)关于y轴的对称点为(－x，y，－z)，关于平面yOz的对称点是(－x，y，z)． 知识点二　空间向量的坐标运算 3．已知a＝(1，0，1)，b＝(－2，－1，1)，c＝(3，1，0)，则a－b＋2c＝(　　) A．(－9，－3，0) B．(0，2，－1) C．(9，3，0) D．(9，0，0) 答案　C 解析　a－b＋2c＝(1，0，1)－(－2，－1，1)＋(6，2，0)＝(3，1，0)＋(6，2，0)＝(9，3，0)．故选C. 4．若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，且满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝______． 答案　2 解析　据题意，有c－a＝(0，0，1－x)，2b＝(2，4，2)，故(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，解得x＝2. 5．已知点A(－1，3，1)，B(－1，3，4)，若＝2，则点P的坐标是________． 答案　(－1，3，3) 解析　解法一：设点P(x，y，z)，则由＝2，得(x＋1，y－3，z－1)＝2(－1－x，3－y，4－z)， 则解得即P(－1，3，3)． 解法二：设点O为坐标原点， ∵＝2，∴－＝2(－)， ∴3＝＋2， ∴＝＋＝(－1，3，1)＋(－1，3，4)＝＋＝(－1，3，3)，即P(－1，3，3)． 知识点三　平行与垂直问题 6．(2022·济南一中高二期中)已知a＝(1，5，－2)，b＝(m，2，m＋1)，若a⊥b，则m的值为(　　) A．－6 B．6 C．－8 D．8 答案　D 解析　因为a⊥b，所以1×m＋5×2－2(m＋1)＝0，解得m＝8. 7．已知点A(λ＋1，μ－1，3)，B(2λ，μ，λ－2μ)，C(λ＋3，μ－3，9)三点共线，则实数λ＋μ＝________． 答案　0 解析　因为＝(λ－1，1，λ－2μ－3)，＝(2，－2，6)，若A，B，C三点共线，则∥，即＝－＝，解得λ＝0，μ＝0，所以λ＋μ＝0. 知识点四　夹角与距离问题 8．已知2a＋b＝(0，－5，10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则〈b，c〉＝________． 答案　120° 解析　(2a＋b)·c＝0×1＋(－5)×(－2)＋10×(－2)＝－10，即2a·c＋b·c＝－10. 又a·c＝4，∴b·c＝－18，又|c|＝3，|b|＝12， ∴cos〈b，c〉＝＝－. ∵0°≤〈b，c〉≤180°，∴〈b，c〉＝120°. 9．已知a＝(1－t，1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|a－b|的最小值为________． 答案　 解析　∵a－b＝(1－t，1－t，t)－(2，t，t)＝(－1－t，1－2t，0)， ∴|a－b|2＝(－1－t)2＋(1－2t)2＝5t2－2t＋2.当t＝时，|a－b|2取最小值为－＋2＝，∴|a－b|的最小值为. 10.在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60°，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90°，A