1.2 空间向量基本定理-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版教程】作业与测评全书word（人教A版）

1．2　空间向量基本定理 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　基底的概念 1.(2022·辽宁鞍山一中高二月考)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，则下列向量能组成基底的是(　　) A．，， B．，， C．，， D．，， 答案　A 解析　，，不共面，，，共面，，，共面，，，共面．故选A. 2．已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是(　　) A．3a，a－b，a＋2b B．2b，b－2a，b＋2a C．a，2b，b－c D．c，a＋c，a－c 答案　C 解析　对于A，有3a＝2(a－b)＋a＋2b，则3a，a－b，a＋2b共面，不能作为基底；同理可判断B，D不能作为基底．故选C. [名师点拨]　判断给出的三个向量组成的向量组能否作为基底，关键是要判断这三个向量是否共面，首先应考虑三个向量是否是零向量，其次判断三个非零向量是否共面．如果从正面难以入手判断三个向量是否共面，可假设三个向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程组，若方程组有解，则三个向量共面；若方程组无解，则三个向量不共面． 3．[多选]O，A，B，C为空间的四个点，又{，，}为空间的一个基底，则下列说法正确的是(　　) A．O，A，B，C四点不共线 B．O，A，B，C四点共面，但不共线 C．O，A，B，C四点中任意三点不共线 D．O，A，B，C四点不共面 答案　ACD 解析　由于{，，}为空间的一个基底，所以，，不共面，因此，O，A，B，C四点一定不共面，则A，C，D正确，B错误．故选ACD. 知识点二　用基底表示向量 4．已知平行六面体OABC－O′A′B′C′，＝a，＝c，＝b，D是四边形OABC的对角线的交点，则(　　) A．＝－a＋b＋c B．＝－b－a－c C．＝a－b－c D．＝a－b＋c 答案　D 解析　＝＋＝－＋(＋)＝－＋＝a－b＋c. 5．(2022·济南一中高二期中)《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵ABC－A1B1C1中，M，N分别是A1C1，BB1的中点，G是MN的中点，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝(　　) A．1 B． C． D． 答案　C 解析　连接AM，AN，如图，因为G是MN的中点，所以＝(＋)＝＝＋＋，根据题意知＝x＋y＋z，所以x＋y＋z＝.故选C. 6.如图，四棱锥P－OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是PC，PB的中点，试用a，b，c表示，，，. 解　连接BO，则＝＝(＋)＝(c－b－a)＝－a－b＋c. ＝＋＝＋＝＋(＋)＝－a－b＋c. ＝＋＝＋＝－a＋b＋c. ＝＝＝a. 知识点三　用空间向量基本定理证明垂直 7.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.证明：PA⊥BD. 证明　　∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥DC，∴∠DAB＋∠ADC＝180°， 又∠DAB＝60°，∴∠ADC＝120°. ∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥DA，PD⊥DC，设＝a，＝b，＝c，这三个向量不共面，{a，b，c}构成空间的一个基底． 则＝＋＝－c＋a，＝＋＝－b－a. ·＝(－c＋a)·(－b－a)＝b·c＋a·c－a·b－a2＝0＋0－|a|·|2a|·cos120°－a2＝0. ∴PA⊥BD. 8.(2022·河北名校高二联考)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O是底面ABCD的中心．求证：OB1⊥平面PAC. 证明　　如图，连接BD，则BD过点O，令＝a，＝b，＝c， 设|a|＝|b|＝|c|＝1， 则{a，b，c}构成空间的一个单位正交基底． ∵＝＋＝a＋b， ＝＋＝＋＝(－)＋＝a－b＋c， ∴·＝(a＋b)· ＝|a|2＋a·b－a·b－|b|2＋a·c＋b·c ＝－＝0. ∴⊥，即AC⊥OB1. 又＝＋＝b＋c， ∴·＝· ＝a·b－|b|2＋c·b＋a·c－b·c＋|c|2＝－＋＝0， ∴⊥，即OB1⊥AP. 又AC∩AP＝A，AC，AP⊂平面PAC. ∴OB1⊥平面PAC. 知识点四　用空间向量基本定理证明平行 9．如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，E，F，G分别是A′D′，DD′，D′C′的中点，请选择恰当的基底向量证明： (1)EG∥AC； (2)平面EFG∥平面AB′C. 证明　　取基底{，，}，