1.1 空间向量及其运算-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版教程】作业与测评全书word（人教A版）

第一章     空间向量与立体几何 1.1　空间向量及其运算 1.1.1　空间向量及其线性运算 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　空间向量的有关概念 1．下列说法中，错误的是(　　) A．向量与的长度相等 B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 答案　D 解析　共线的单位向量是相等向量或相反向量． 2．[易错题]下列关于单位向量与零向量的叙述正确的是(　　) A．零向量是没有方向的向量，两个单位向量的模相等 B．零向量的方向是任意的，所有单位向量都相等 C．零向量的长度为0，单位向量不一定是相等向量 D．零向量只有一个方向，模相等的单位向量的方向不一定相同 答案　C 解析　因为零向量的方向是任意的，且长度为0，两个单位向量的模相等，但方向不一定相同．故选C. [易错分析]　本题容易忽略单位向量的方向，而认为所有单位向量都相等．注意两个向量相等的条件是方向相同且模相等，二者缺一不可． 3．[多选]下列说法正确的有(　　) A．若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD是平行四边形的充要条件 B．若a＝b，b＝c，则a＝c C．向量a，b相等的充要条件是 D．＝的充要条件是A与C重合，B与D重合 答案　AB 解析　A正确，∵＝，∴||＝||且∥.又A，B，C，D不共线，∴四边形ABCD是平行四边形．反之，在▱ABCD中，有＝；B正确，∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同．∵b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同．故a＝c；C不正确，由a∥b，知a与b的方向相同或相反；D显然不正确．故选AB. 4．如图所示，已知ABCD－A1B1C1D1为平行六面体，若以此平行六面体的顶点为向量的起点、终点，求： (1)与相等的向量； (2)与相反的向量； (3)与平行的向量． 解　(1)与相等的向量为，，. (2)与相反的向量为，. (3)与平行的向量为，，. 知识点二　空间向量的线性运算 5．(2022·长沙一中高二期中)如图所示空间四边形ABCD，连接AC，BD，设M，G分别是BC，CD的中点，则－＋等于(　　) A． B．3 C．3 D．2 答案　B 解析　－＋＝－(－)＝－＝＋＝＋2＝3.故选B. 6．(2022·河北张家口高二期末)在三棱锥O－ABC中，M是OA的中点，P是△ABC的重心．设a＝，b＝，c＝，则＝(　　) A．a－b＋c B．a－b＋c C．－a＋b＋c D．－a＋b－c 答案　C 解析　如图，取AB的中点D，连接CD，MC，MP，OD，在△MCP中，＝＋＝(－)＋＝＋(－)＝＋－c＝＋×(＋)－c＝c－a＋(a＋b)－c＝－a＋b＋c.故选C. 知识点三　向量共线 7．设空间四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则(　　) A．点P一定在直线AB上 B．点P一定不在直线AB上 C．点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上 D．与的方向一定相同 答案　A 解析　已知m＋n＝1，则m＝1－n，所以＝(1－n)＋n＝－n＋n⇒－＝n(－)⇒＝n.因为≠0，所以和共线，即点A，P，B共线．故选A. 8.(2022·武汉一中高二阶段测试)如图，已知M，N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3.求证：B，G，N三点共线． 证明　　设＝a，＝b，＝c， 则＝＋＝＋ ＝－a＋(a＋b＋c)＝－a＋b＋c， ＝＋＝＋(＋)＝－a＋b＋c＝，∴∥. 又BN∩BG＝B，∴B，G，N三点共线． 知识点四　向量共面 9.(2022·重庆一中高二月考)如图所示，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中，＝a，＝b，＝c，在AC1和BC上分别有一点M和N，且＝k，＝k，其中0≤k≤1.求证：，a，c共面． 证明　　因为＝k＝kb＋kc， ＝＋＝a＋k＝a＋k(－a＋b)＝(1－k)a＋kb， 所以＝－＝(1－k)a＋kb－kb－kc＝(1－k)a－kc. 由向量共面的充要条件可知，，a，c共面． 10．已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点O满足＝＋＋. (1)判断，，三个向量是否共面； (2)判断M是否在平面ABC内． 解　(1)∵＋＋＝3， ∴－＝(－)＋(－)＝＋. ∴＝＋＝－－. ∴向量，，共面． (2)由(1)知向量，，共面，而它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线， ∴M，A，B，C共面，即M在平面ABC内． [名师点拨]　向量共面的充要条件的实质是共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定可以表示其他向量，对于向量共面的充要条件，不仅要会正用，也要能够逆用它求