2.4 2.4.2 圆的一般方程-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版教程】作业与测评全书word（人教A版）

2.4.2　圆的一般方程 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　圆的一般方程 1．若圆的方程是x2＋y2－2x＋10y＋23＝0，则该圆的圆心坐标和半径分别是(　　) A．(－1，5)， B．(1，－5)， C．(－1，5)，3 D．(1，－5)，3 答案　B 解析　解法一(化为标准方程)：(x－1)2＋(y＋5)2＝3； 解法二(利用一般方程)：为圆心，半径r＝，易得－＝1，－＝－5，r＝. 2．(2022·河北石家庄二中高二月考)若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C. D．(－2，0) 答案　A 解析　当a2＋4a2－4>0时，该方程表示圆，故－a＋1>0，解得a<1.故选A. [规律方法]　方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的两种判断方法 (1)配方法，对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆． (2)运用圆的一般方程的判断方法求解，即通过判断D2＋E2－4F是否为正，确定它是否表示圆． 提醒：在利用D2＋E2－4F>0来判断二元二次方程是否表示圆时，务必注意x2及y2的系数． 知识点二　求圆的一般方程 3．过A(0，0)，B(1，1)，C(4，2)三点的圆的一般方程是(　　) A．x2＋y2＋8x＋6y＝0 B．x2＋y2－8x－6y＝0 C．x2＋y2＋8x－6y＝0 D．x2＋y2－8x＋6y＝0 答案　D 解析　设所求的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，因为A(0，0)，B(1，1)，C(4，2)三点在圆上，则解得于是所求圆的一般方程是x2＋y2－8x＋6y＝0. 4．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的一般方程为(　　) A．x2＋y2＋4y＋5＝0 B．x2＋y2＋4y－5＝0 C．x2＋y2－2y－5＝0 D．x2＋y2－2y＋5＝0 答案　C 解析　直线(a－1)x－y＋1＝0可化为(－x－y＋1)＋ax＝0，由得C(0，1)．∴圆的方程为x2＋(y－1)2＝6，即x2＋y2－2y－5＝0. 知识点三　轨迹问题 5．已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，那么点P的轨迹所包围的图形的面积等于(　　) A．π B．4π C．8π D．9π 答案　B 解析　设点P的坐标为(x，y)，则(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，即(x－2)2＋y2＝4，所以点P的轨迹是以(2，0)为圆心，2为半径的圆，故所求面积为π×22＝4π. 6．(2022·湖北名校高二联考)已知圆x2＋y2＝1，点A(1，0)，△ABC内接于圆，且∠BAC＝60°，当B，C在圆上运动时，BC的中点D的轨迹方程是(　　) A．x2＋y2＝ B．x2＋y2＝ C．x2＋y2＝ D．x2＋y2＝ 答案　D 解析　如图，设线段BC的中点为D.∵圆周角等于圆心角的一半，∴∠BOC＝120°，∠BOD＝60°，在Rt△BOD中，有|OD|＝|OB|＝，故中点D的轨迹方程为x2＋y2＝.由∠BAC的极限位置可得，当B趋近于A时，可得x<.故选D. 7．已知等腰三角形ABC的顶角顶点为A(3，20)，一底角顶点为B(3，5)，求另一底角顶点C的轨迹方程． 解　设另一底角顶点为C(x，y)，则由等腰三角形的性质可知|AC|＝|AB|， 即＝， 整理得(x－3)2＋(y－20)2＝225. 当x＝3时，A，B，C三点共线，不符合题意，故舍去． 综上可知，另一底角顶点C的轨迹方程为 (x－3)2＋(y－20)2＝225(x≠3)． 8．设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹． 解　如图，设P(x，y)，N(x0，y0)， 则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为. 由于平行四边形的对角线互相平分， 所以＝，＝，从而 又点N(x＋3，y－4)在圆x2＋y2＝4上， 所以(x＋3)2＋(y－4)2＝4. 当点P在直线OM上时， 有x＝－，y＝或x＝－，y＝. 故所求点P的轨迹为圆心为(－3，4)，半径为2的圆(x＋3)2＋(y－4)2＝4，除去点和点. [名师点拨]　求轨迹方程的三种常用方法 (1)直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、证明． (2)定义法：当动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程． (3