2.3 2.3.4 两条平行直线间的距离-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版教程】作业与测评全书word（人教A版）

2.3.4　两条平行直线间的距离 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　两条平行直线间的距离 1．两条平行直线l1：4x－3y＋2＝0与l2：4x－3y－1＝0之间的距离d是(　　) A．3 B． C． D．1 答案　B 解析　由两平行直线间的距离公式得d＝＝. [规律方法]　两条平行直线间的距离的求法 (1)公式法：将两条平行直线的方程化为一般式，且两条平行直线的方程中x，y的系数化为相同的，代入两条平行直线间的距离公式． (2)转化法：在一条直线上任取一点，求该点到另一条直线的距离． 2．两条平行直线3x－4y－3＝0和mx－8y＋5＝0间的距离是(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　由两直线平行，得m＝6，所以mx－8y＋5＝0可化成3x－4y＋＝0，因此两条平行线间的距离d＝＝.故选A. 3．两平行线分别经过点A(3，0)，B(0，4)，它们之间的距离d满足的条件是(　　) A．0<d≤3 B．0<d≤5 C．0<d<4 D．3≤d≤5 答案　B 解析　当两平行线与AB垂直时，两平行线间的距离最大为|AB|＝5，所以0<d≤5. 4．(2022·济南一中高二期末)若两条平行直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)与l2：2x＋ny－6＝0间的距离是，则m＋n＝(　　) A．0 B．1 C．－2 D．－1 答案　C 解析　因为l1∥l2，所以＝≠，解得n＝－4，m≠－3，即直线l2：x－2y－3＝0，所以两条直线之间的距离d＝＝，又m>0，所以m＝2，所以m＋n＝－2.故选C. 5．P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　由于直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0平行，所以|PQ|的最小值即为两平行直线间的距离，即|PQ|min＝＝. 6．当m变化时，两条平行直线3x－4y＋m－1＝0和3x－4y＋m2＝0间的距离的最小值为________． 答案　 解析　d＝＝≥，当且仅当m＝时取等号． 7．(2022·长沙一中高二期中)若直线m被两条平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：2x－2y＋5＝0所截得的线段长为，则直线m的倾斜角等于________． 答案　135° 解析　由两平行线间的距离为＝，直线m被两条平行线截得的线段长为，可得直线m和这两条平行线的夹角为90°.由于两条平行线的倾斜角为45°，故直线m的倾斜角为135°. 知识点二　两条平行直线间距离公式的应用 8.如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到l2的位置，若l1，l2和两坐标轴围成的梯形ABCD的面积为4，求直线l2的方程． 解　∵l1∥l2，可设l2的方程为x＋y－m＝0.l2与x轴、y轴分别交于B，C，l1与x轴、y轴分别交于A，D，得A(1，0)，D(0，1)，B(m，0)，C(0，m)． ∵l2在l1的上方，∴m>1. |AD|＝＝， |BC|＝＝m. 直线l1与直线l2间的距离为＝. S梯形ABCD＝×(＋m)×＝＝4， 解得m＝3或m＝－3(舍去)． 故所求直线l2的方程为x＋y－3＝0. 9．正方形ABCD一条边AB所在直线的方程为x＋3y－5＝0，另一边CD所在直线的方程为x＋3y＋7＝0. (1)求正方形中心G所在直线的方程； (2)设正方形中心G(x0，y0)，当正方形仅有两个顶点在第一象限时，求x0的取值范围． 解　(1)由于正方形中心G所在的直线平行于直线x＋3y－5＝0，设中心G所在直线的方程为x＋3y＋C＝0， 由平行线间的距离公式得＝. 解得C＝1. 所以正方形中心G所在直线的方程为x＋3y＋1＝0. (2)由平行线间的距离公式得正方形的边长为 d＝＝. 设正方形的边BC，AD所在直线的方程为3x－y＋m＝0， 由于中心G(x0，y0)到BC的距离等于＝， 那么＝， 解得m＝±6－3x0＋y0，① 又因为G在直线x＋3y＋1＝0上，那么x0＋3y0＋1＝0，即y0＝－，② 把②代入①得m＝±6－，③ 联立方程解得 由于正方形只有两个点在第一象限，那么即 解得－15＜m＜，④ 把③代入④得到－15＜±6－＜， 解得＜x0＜. 故x0的取值范围为.