2.3 2.3.3 点到直线的距离公式-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版教程】作业与测评全书word（人教A版）

2．3.3　点到直线的距离公式 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　点到直线的距离 1．点(－1，0)到直线y＝x＋3的距离为(　　) A．1 B．2 C． D．2 答案　C 解析　点(－1，0)到直线y＝x＋3即x－y＋3＝0的距离d＝＝. 2．已知点P(a，b)是第二象限的点，那么它到直线x－y＝0的距离是(　　) A．(a－b) B．b－a C．(b－a) D． 答案　C 解析　∵P(a，b)是第二象限的点，∴a<0，b>0，∴a－b<0，从而点P到直线x－y＝0的距离d＝＝(b－a)． 3．[多选](2022·福建宁德高二联考)已知点(1，m)到直线x＋y－2＝0的距离等于1，则m的值可以是(　　) A．1－ B．1＋ C．－1 D．3 答案　AB 解析　由点到直线的距离公式得＝1，即|m－1|＝，所以m＝1＋或1－.故选AB. [规律方法]　点到直线的距离的求解方法 (1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式，直接利用点到直线的距离公式求解即可． (2)已知点到直线的距离求参数值时，只需根据点到直线的距离公式列出关于参数的方程(组)求解即可． 4．[多选](2022·重庆名校联盟高二联考)已知直线l经过点(3，5)，且点A(－2，3)，B(4，－1)到直线l的距离相等，则直线l的方程可能为(　　) A．2x＋3y－21＝0 B．2x－y－1＝0 C．x＋2y－13＝0 D．2x－3y＋9＝0 答案　AB 解析　当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝3，此时点A到直线l的距离为5，点B到直线l的距离为1，此时不成立；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0，∵点A(－2，3)，B(4，－1)到直线l的距离相等，∴＝，解得k＝－或k＝2.当k＝－时，直线l的方程为y－5＝－(x－3)，整理得2x＋3y－21＝0；当k＝2时，直线l的方程为y－5＝2(x－3)，整理得2x－y－1＝0.综上，直线l的方程可能为2x＋3y－21＝0或2x－y－1＝0.故选AB. 5．[易错题]一直线过点P(2，0)，且点Q到该直线的距离等于4，则该直线的倾斜角为________． 答案　90°或30° 解析　当过点P的直线垂直于x轴时，点Q到直线的距离等于4，此时直线的倾斜角为90°；当过点P的直线不垂直于x轴时，直线斜率存在，设为k，则过点P的直线方程为y＝k(x－2)，即kx－y－2k＝0，由d＝＝4，解得k＝，此时直线的倾斜角为30°.综上，该直线的倾斜角为90°或30°. [易错分析]　设直线的方程时，一定要考虑直线的斜率存在和不存在两种可能性，不要想当然地认为直线的斜率存在而漏解． 知识点二　点到直线距离公式的应用 6．已知点P(m，n)是直线2x＋y＋5＝0上任意一点，则 的最小值为________． 答案　 解析　因为是点P(m，n)与原点O间的距离，所以根据直线的性质，原点O到直线2x＋y＋5＝0的距离就是的最小值．根据点到直线的距离公式可得d＝＝. 7．已知直线l：kx－y＋2＝0过定点M，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，则|MP|的最小值是________． 答案　 解析　∵直线l：kx－y＋2＝0恒过点(0，2)，∴M(0，2)．∵点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，∴|MP|的最小值为点M到直线2x＋y－1＝0的距离，∴d＝＝＝. 8．已知△ABC的顶点坐标为A(1，1)，B(m，)，C(4，2)，1<m<4.当m为何值时，△ABC的面积S最大？ 解　|AC|＝＝，直线AC的方程为＝，即x－3y＋2＝0. ∵点B(m，)到直线AC的距离 d＝， ∴△ABC的面积S＝|AC|·d＝|m－3＋2|＝. ∵1<m<4，∴1<<2， ∴0<≤，0<S≤. ∴当＝，即m＝时，△ABC的面积S最大． 9．过点M(2，4)作两条互相垂直的直线，分别交x，y轴的正半轴于点A，B，若四边形OAMB的面积被直线AB平分，求直线AB的方程． 解　设直线AB的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)， ∴A(a，0)，B(0，b)，＝(a－2，－4)，＝(－2，b－4)． ∵MA⊥MB，∴(a－2)×(－2)＋(－4)×(b－4)＝0， 即a＝10－2b.∵a＞0，b＞0，∴0＜b＜5，0＜a＜10. ∵直线AB的一般式方程为bx＋ay－ab＝0， ∴点M到直线AB的距离d＝. ∴△MAB的面积S1＝d·|AB|＝|2b＋4a－ab|＝|b2－8b＋20|＝b2－8b＋20， △OAB的面积S