2.3 2.3.2 两点间的距离公式-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版教程】作业与测评全书word（人教A版）

2.3.2　两点间的距离公式 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　两点间距离公式 1．一条平行于x轴的线段的长是5个单位，它的一个端点是A(2，1)，则它的另一个端点B的坐标是(　　) A．(－3，1)或(7，1) B．(2，－4)或(2，6) C．(－3，1)或(5，1) D．(2，－5)或(2，5) 答案　A 解析　因为AB平行于x轴，所以B点的纵坐标为1.因为线段的长度为5，所以B点的横坐标为7或－3. 2．已知点A(x，5)关于点C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是(　　) A．4 B. C. D. 答案　D 解析　由题意知解得 ∴点P(x，y)到原点的距离d＝＝. 3.(2022·三湘名校高二联考)如图所示，已知A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是(　　) A．2 B．6 C．3 D．2 答案　A 解析　由题意知，点P关于直线AB的对称点为D(4，2)，关于y轴的对称点为C(－2，0)，则光线所经过的路程为|CD|＝2.故选A. 知识点二　两点间距离公式的应用 4．已知M(1，0)，N(－1，0)，点P为直线2x－y－1＝0上的动点，则|PM|2＋|PN|2的最小值为________． 答案　 解析　设点P的坐标为(t，2t－1)，则|PM|2＋|PN|2＝(t－1)2＋(2t－1)2＋(t＋1)2＋(2t－1)2＝10t2－8t＋4＝10＋≥，所以|PM|2＋|PN|2的最小值为. 5．已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A(1，－1)，B(－1，3)，C(3，0)． (1)判断△ABC的形状； (2)求△ABC的面积． 解　(1)如图，△ABC为直角三角形，下面进行验证： 解法一：∵|AB|＝ ＝＝2， |AC|＝＝， |BC|＝＝＝5， ∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2， 即△ABC是以A为直角顶点的直角三角形． 解法二：∵kAB＝＝－2， kAC＝＝， ∴kABkAC＝－1，∴AB⊥AC， ∴△ABC是以A为直角顶点的直角三角形． (2)∵∠A＝90°，|AB|＝2，|AC|＝， ∴S△ABC＝|AB|·|AC|＝5. [名师点拨]　平面上两点间的距离公式的应用类型 (1)已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足某些条件时，设出所求点的坐标，利用两点间的距离公式建立关于所求点坐标的函数、方程或方程组求解． (2)利用两点间的距离公式可以判断三角形的形状．从三边长入手，如果边长相等，则可能是等腰或等边三角形，如果满足勾股定理，则是直角三角形． 知识点三　运用坐标法解决平面几何问题 6．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：|AC|＝|BD|. 证明　如图，建立平面直角坐标系，设A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，则点D的坐标是(a－b，c)． ∴|AC|＝＝， |BD|＝＝， 故|AC|＝|BD|. 7．在△ABC中，D是BC边上任意一点(D与B，C不重合)，且|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|.求证：△ABC为等腰三角形． 证明　作AO⊥BC，垂足为O，以BC所在直线为x轴，以OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图所示)． 设A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，D(d，0)． 因为|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|， 所以，由两点间的距离公式可得 b2＋a2＝d2＋a2＋(d－b)(c－d)， 即－(d－b)(b＋d)＝(d－b)(c－d)． 又d－b≠0，故－b－d＝c－d，即－b＝c. 所以|AB|＝，|AC|＝＝， 所以|AB|＝|AC|，即△ABC为等腰三角形． [规律方法]　用坐标法解决平面几何问题的基本步骤 第一步：建立适当的直角坐标系，用坐标表示有关的量； 第二步：进行有关的代数计算． 在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是 要考虑角的特征，主要考虑是否为直角；二是要考虑三角形边的长度特征，主要考虑边是否相等或是否满足勾股定理； 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系． 提醒：建系时让图形中尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算． 8．求证：若圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则连接对角线交点与一边中点的线段长等于圆心到该边对边中点的距离． 证明　　以两条对角线的交点为原点O，对角线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系(如图所示)． 设A(－a，