2.3 2.3.1 两条直线的交点坐标-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版教程】作业与测评全书word（人教A版）

2.3　直线的交点坐标与距离公式 2．3.1　两条直线的交点坐标 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　两条直线的交点问题 1．直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是(　　) A．(4，1) B．(1，4) C． D． 答案　C 解析　由方程组得即直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是. 2．如果直线l1：4ax＋y＋2＝0与直线l2：(1－3a)x＋y－2＝0相交，交点的纵坐标为8，则a的值为(　　) A． B．－ C．－ D． 答案　A 解析　由方程组解得由题意知＝8，即a＝. 3．(2022·济南一中高二期中)经过直线l1：x－2y＋4＝0与直线l2：x＋y－2＝0的交点，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程是________． 答案　4x＋3y－6＝0 解析　解法一：由方程组 得即P(0，2)．∵l⊥l3，l3的斜率为， ∴kl＝－，∴直线l的方程是y－2＝－x，即4x＋3y－6＝0. 解法二：∵直线l过直线l1和l2的交点，∴可设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.∵l与l3垂直，∴3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，∴λ＝11，∴直线l的方程是12x＋9y－18＝0，即4x＋3y－6＝0. 4．分别判断下列直线是否相交．若相交，求出它们的交点： (1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0； (2)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3. 解　(1)方程组的解为 因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1)． (2)方程组无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2. [名师点拨]　判断两条直线的位置关系，关键是看两条直线的方程组成的方程组的解的情况． 知识点二　直线过定点问题 5．无论k为何值，直线(k＋2)x＋(1－k)y－4k－5＝0都过一个定点，则该定点为(　　) A．(1，3) B．(－1，3) C．(3，1) D．(3，－1) 答案　D 解析　直线方程可化为(2x＋y－5)＋k(x－y－4)＝0，此直线过直线2x＋y－5＝0和直线x－y－4＝0的交点．由解得因此所求定点为(3，－1)．故选D. [规律方法]　解含参数的直线恒过定点问题的策略 (1)任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解． (2)含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组 解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0)． 6．若非零实数a，b满足3a＝2b(a＋1)，且直线＋＝1恒过一定点，则定点坐标为(　　) A． B．(1，3) C．(－3，－2) D． 答案　A 解析　∵非零实数a，b满足3a＝2b(a＋1)，∴＝＋.∵＋＝1，∴＋y＝1，∴6x＋(a＋1)y＝3a，∴(6x＋y)＋a(y－3)＝0.由解得∴定点坐标为. 知识点三　对称问题 7．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2，1)对称，则直线l2恒过定点(　　) A．(0，4) B．(0，2) C．(－2，4) D．(4，－2) 答案　B 解析　直线l1：y＝k(x－4)经过定点(4，0)，其关于点(2，1)对称的点为(0，2)．又直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2，1)对称，故直线l2恒过定点(0，2)． 8．若光线沿直线7x－y－3＝0入射到直线2x－y＋2＝0后反射，求反射光线所在直线的方程． 解　由得 即直线7x－y－3＝0与直线2x－y＋2＝0的交点为N(1，4)．在直线7x－y－3＝0上取点H(0，－3)， 设点H(0，－3)关于2x－y＋2＝0的对称点为H′(m，n)，则 解得即H′(－4，－1)．因为kNH′＝＝1，所以反射光线所在直线的方程为y＝x－1＋4＝x＋3. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、选择题 1．设A＝{(x，y)|x＋y－4＝0}，B＝{(x，y)|2x－y－5＝0}，则集合A∩B＝(　　) A．{1，3} B．{(1，3)} C．{(3，1)} D．∅ 答案　C 解析　由得故A∩B＝{(3，1)}