2.2 2.2.3 直线的一般式方程-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版教程】作业与测评全书word（人教A版）

2.2.3　直线的一般式方程 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　直线的一般式方程 1．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为(　　) A．A≠0 B．B≠0 C．A·B≠0 D．A2＋B2≠0 答案　D 解析　要使Ax＋By＋C＝0表示直线，需A，B不同时为零，显然A，B两项均不满足，C中表示A与B同时不为零，也不满足，只有D正确． 2．下列直线中，斜率为－，且不经过第一象限的是(　　) A．3x＋4y＋7＝0 B．4x＋3y＋7＝0 C．4x＋3y－42＝0 D．3x＋4y－42＝0 答案　B 解析　将一般式化为斜截式，斜率为－的有B，C两项，其中B项化为y＝－x－，C项化为y＝－x＋14.又y＝－x＋14过点(0，14)，即直线经过第一象限，所以只有B满足要求． 3．根据下列条件求直线的一般式方程． (1)直线的斜率为2，且经过点A(1，3)； (2)斜率为，且在y轴上的截距为4； (3)经过两点A(2，－3)，B(－1，－5)； (4)在x，y轴上的截距分别为2，－4. 解　(1)因为k＝2，且经过点A(1，3)，由直线的点斜式方程可得y－3＝2(x－1)，整理可得2x－y＋1＝0，所以直线的一般式方程为2x－y＋1＝0. (2)由直线的斜率k＝，且在y轴上的截距为4，得直线的斜截式方程为y＝x＋4.整理可得直线的一般式方程为x－y＋4＝0. (3)由直线的两点式方程可得＝，整理得直线的一般式方程为2x－3y－13＝0. (4)由直线的截距式方程可得＋＝1，整理得直线的一般式方程为2x－y－4＝0. 知识点二　平行、垂直问题 4．已知点P(x0，y0)是直线l：Ax＋By＋C＝0外一点，则方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0表示(　　) A．过点P且与l垂直的直线 B．过点P且与l平行的直线 C．不过点P且与l垂直的直线 D．不过点P且与l平行的直线 答案　D 解析　∵点P(x0，y0)不在直线Ax＋By＋C＝0上，∴Ax0＋By0＋C≠0，∴直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0不经过点P.又直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0与直线l：Ax＋By＋C＝0平行，故选D. 5．已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程： (1)过点(－1，3)，且与l平行； (2)过点(－1，3)，且与l垂直． 解　解法一：l的方程可化为y＝－x＋3， ∴l的斜率为－. (1)∵l′与l平行，∴l′的斜率为－. 又l′过点(－1，3)， ∴由点斜式知直线l′的方程为y－3＝－(x＋1)，即3x＋4y－9＝0. (2)∵l′与l垂直，∴l′的斜率为，又l′过点(－1，3)， ∴由点斜式可得直线l′的方程为y－3＝(x＋1)，即4x－3y＋13＝0. 解法二：(1)由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0(m≠－12)． 将(－1，3)代入上式得m＝－9. ∴直线l′的方程为3x＋4y－9＝0. (2)由l′与l垂直，可设l′的方程为4x－3y＋n＝0. 将(－1，3)代入上式得n＝13. ∴直线l′的方程为4x－3y＋13＝0. [规律方法]　过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法 (1)由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程． (2)可利用如下待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由直线所过的点确定C1；与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，再由直线所过的点确定C2. 6．(2022·长郡中学高二月考)已知直线l1：ax＋2y－3＝0，l2：3x＋(a＋1)y－a＝0，求满足下列条件的a的值： (1)l1∥l2；(2)l1⊥l2. 解　解法一：由题可知A1＝a，B1＝2，C1＝－3，A2＝3，B2＝a＋1，C2＝－a. (1)当l1∥l2时，解得a＝2. (2)当l1⊥l2时，A1A2＋B1B2＝0， 即3a＋2(a＋1)＝0，解得a＝－. 解法二：直线l1可化为y＝－x＋. (1)当a＝－1时，l2：x＝－与l1不平行； 当a≠－1时，直线l2：y＝－x＋， ∵l1∥l2，∴－＝－且≠， 解得a＝2. (2)当a＝－1时，l2：x＝－与l1不垂直； 当a≠－1时，l2：y＝－x＋， ∵l1⊥l2，∴－×＝－1，解得a＝－. [名师点拨]　利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1