1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版教程】作业与测评全书word（人教A版）

1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时　用空间向量研究距离问题 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一 点到直线的距离、相互平行的直线之间的距离 1.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，N为BB1的中点，则点N到直线AC1的距离为(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　如图，连接AN，以A1为坐标原点，A1B1，A1D1，A1A所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．则A(0，0，1)，C1(1，1，0)，N，所以＝(1，1，－1)，取a＝＝，u＝＝(1，1，－1)，则a2＝，a·u＝.所以点N到直线AC1的距离为＝. [规律方法]　用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系． (2)求直线的单位方向向量u. (3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量a. (4)设点到直线的距离为d，根据勾股定理可得d＝. 2．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，若CC1的中点为E，CD的中点为F，则直线AB1与EF的距离为________． 答案　 解析　以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．∵AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∴A(0，0，0)，B1(1，0，3)，＝(1，0，3)．∵E，F分别为CC1，CD的中点，∴E，F，＝，则有＝－2，∴∥，即AB1∥EF，点F到直线AB1的距离即为AB1与EF之间的距离，连接AF，∵＝，∴点F到直线AB1的距离为d＝＝ ＝.∴直线AB1与EF的距离为. 知识点二　点到平面的距离 3.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则有D1(0，0，1)，D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)，＝(－1，0，1)，＝(0，1，0)．因为O为A1C1的中点，所以O，＝.设平面ABC1D1的法向量为n＝(x，y，z)，则即取n＝(1，0，1)，所以O到平面ABC1D1的距离为d＝＝＝. 4．(2022·武汉一中高二月考)在三棱锥B－ACD中，平面ABD⊥平面ACD，O是AD的中点，若棱长AC＝CD＝AD＝AB＝1，且∠BAD＝30°，则点D到平面ABC的距离为________，点O到平面ABC的距离为________． 答案　　 解析　如图所示，以AD的中点O为原点，OD，OC所在直线分别为x轴、y轴，过O作OM⊥平面ACD交AB于M，直线OM为z轴建立空间直角坐标系Oxyz，则A，B，C，D，∴＝，＝，＝. 设n＝(x，y，z)为平面ABC的法向量， 则∴y＝－x，z＝－x，取x＝－，则y＝1，z＝3， ∴n＝(－，1，3)，代入d＝，得d＝＝，即点D到平面ABC的距离是.∵O是AD的中点，∴点O到平面ABC的距离是×＝. 5.如图，已知ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是AD，AB的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC＝2，则点B到平面FEG的距离为________． 答案　 解析　以C为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则G(0，0，2)，B(0，4，0)，A(4，4，0)，D(4，0，0)，E(4，2，0)，F(2，4，0)．故＝(4，2，－2)，＝(2，4，－2)．设n0＝(x，y，z)是平面FEG的单位法向量， 则有即 取z>0，得x＝y＝，z＝， ∴n0＝(1，1，3)，连接GB，则＝(0，4，－2)， ∴d＝|n0·|＝＝.即点B到平面FEG的距离为. [规律方法]　利用向量法求点到平面的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系． (2)求出该平面的一个法向量． (3)找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量． (4)法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即为点到平面的距离. 知识点三 相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离 6.(2022·江苏泰州中学高二期中)如图，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为直角梯形，AB∥CD且∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝，BC＝2，AA1＝2，E是CC1的中点，求直线A1B1与平面ABE的距离． 解　易得A1B1∥平面ABE.如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴