1.4 1.4.1 第3课时 空间中直线、平面的垂直-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版教程】作业与测评全书word（人教A版）

第3课时　空间中直线、平面的垂直 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　空间中直线与直线垂直 1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于(　　) A．AC B．BD C．A1D D．A1A 答案　B 解析　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系． 设正方体的棱长为1，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)，E，∴＝，＝(－1，1，0)，＝(－1，－1，0)，＝(－1，0，－1)，＝(0，0，－1)．∵·＝(－1)×＋(－1)×＋0×1＝0，∴CE⊥BD. 2.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4. (1)求证：AC⊥BC1. (2)在线段AB上是否存在点D，使得AC1⊥CD? 解　在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC⊥BC，∴AC，BC，CC1两两垂直，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(3，0，0)，C1(0，0，4)，B(0，4，0)，B1(0，4，4)． (1)证明：∵＝(－3，0，0)，＝(0，－4，4)， ∴·＝0.∴⊥，∴AC⊥BC1. (2)假设在线段AB上存在点D，使得AC1⊥CD，设＝λ＝(－3λ，4λ，0)，其中λ∈[0，1]，则D(3－3λ，4λ，0)，于是＝(3－3λ，4λ，0)．∵＝(－3，0，4)，且AC1⊥CD，∴－9＋9λ＝0，得λ＝1.∴在线段AB上存在点D，使得AC1⊥CD，且这时点D与点B重合． 知识点二　空间中直线与平面垂直 3．若直线l的一个方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的一个法向量为n＝(－2，0，－4)，则(　　) A．l∥α B．l⊥α C．l⊂α D．l与α斜交 答案　B 解析　∵n＝(－2，0，－4)＝－2(1，0，2)＝－2a，∴n∥a，∴l⊥α. 4.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点． 求证：EF⊥平面B1AC. 证明　　证法一：设＝a，＝c，＝b， 则＝＋＝(＋)＝(＋) ＝(＋－)＝(－a＋b＋c)． ∵＝＋＝a＋b， ∴·＝(－a＋b＋c)·(a＋b) ＝(b2－a2＋c·a＋c·b) ＝(|b|2－|a|2＋0＋0)＝0. ∴⊥，即EF⊥AB1.同理，EF⊥B1C.又AB1∩B1C＝B1，AB1，B1C⊂平面B1AC，∴EF⊥平面B1AC. 证法二：设正方体的棱长为2，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(2，2，2)，E(2，2，1)，F(1，1，2)． ∴＝(－1，－1，1)，＝(0，2，2)，＝(－2，2，0)． ∴·＝(－1，－1，1)·(0，2，2)＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0， ·＝(－1，－1，1)·(－2，2，0)＝2－2＋0＝0， ∴⊥，⊥，∴EF⊥AB1，EF⊥AC. 又AB1∩AC＝A，AB1，AC⊂平面B1AC， ∴EF⊥平面B1AC. 证法三：由证法二得＝(0，2，2)，＝(－2，2，0)， ＝(－1，－1，1)． 设平面B1AC的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 取x＝1，则y＝1，z＝－1， ∴n＝(1，1，－1)，∴＝－n，∴∥n， ∴EF⊥平面B1AC. [规律方法]　用向量法证明线面垂直的方法及步骤 (1)利用线线垂直：①将直线的方向向量用坐标表示；②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直． (2)利用平面的法向量：①将直线的方向向量用坐标表示；②求出平面的法向量；③判断直线的方向向量与平面的法向量平行． 知识点三　空间中平面与平面垂直 5．若平面α的一个法向量为n1＝(1，0，1)，平面β的一个法向量为n2＝(－3，1，3)，则(　　) A．α∥β B．α⊥β C．α与β相交但不垂直 D．以上均有可能 答案　B 解析　因为n1·n2＝(1，0，1)·(－3，1，3)＝0，所以α⊥β.故选B. 6.如图所示，底面ABCD是正方形，AS⊥平面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD. 证明　　设AB＝BC＝CD＝DA＝AS＝1，以A为坐标原点，AB，AD，AS所在直线分别为x轴、y