1.4 1.4.1 第2课时 空间中直线、平面的平行-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版教程】作业与测评全书word（人教A版）

第2课时　空间中直线、平面的平行 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　空间中直线与直线平行 1．若直线l1和l2是两条不同的直线，其方向向量分别是a＝(1，－1，2)，b＝(－2，2，－4)，则直线l1与l2________． 答案　平行 解析　∵b＝－2a，∴l1与l2平行． 2．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点，求证：MN∥RS. 证明　　证法一：设＝a，＝b，＝c，则＝＋＋＝c－a＋b，＝＋＋＝b－a＋c，∴＝，∴∥，又R∉MN，∴MN∥RS. 证法二：如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Axyz，则根据题意得M，N(0，2，2)， R(3，2，0)，S.∴＝，＝，∴＝. ∴∥.∵M∉RS，∴MN∥RS. 知识点二　空间中直线与平面平行 3．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则可能使l∥α的是(　　) A．a＝(1，0，0)，n＝(－2，0，0) B．a＝(1，3，5)，n＝(1，0，1) C．a＝(0，2，1)，n＝(－1，0，－1) D．a＝(1，－1，3)，n＝(0，3，1) 答案　D 解析　直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，若l∥α，则a·n＝0.四个选项中，只有D选项满足a·n＝0－3＋3＝0.故选D. 4.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD. 证明　　证法一：如图所示，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，则可求得M，N，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)， 于是＝，＝(1，0，1)，＝(1，1，0)． 设平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)， 则得 取x＝1，得y＝－1，z＝－1， 所以n＝(1，－1，－1)． 又·n＝·(1，－1，－1)＝0， 所以⊥n.又MN⊄平面A1BD， 所以MN∥平面A1BD. 证法二：因为＝－＝－＝(－)＝， 所以∥. 而MN⊄平面A1BD，DA1⊂平面A1BD， 所以MN∥平面A1BD. [规律方法]　利用空间向量证明线面平行的一般方法 方法一：证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一个基底表示． 方法二：证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证． 方法三：先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直． 5.(2022·山东师范大学附属中学高二期中)四棱锥P－ABCD的底面是梯形，AB⊥AD，AB⊥BC，PB⊥平面ABCD，PB＝AB＝BC＝2，AD＝1，M为线段PC的中点．问：在线段PD上是否存在一点N，使AN∥平面BDM？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由． 解　以B为坐标原点，BA，BC，BP所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，D(2，1，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，M(0，1，1)，则 ＝(0，1，0)，＝(－2，－1，2)，＝(2，1，0)，＝(0，1，1)．设平面BDM的法向量为n＝(x，y，z)， 则得令x＝1，则y＝－2，z＝2. 所以n＝(1，－2，2)． 假设在线段PD上存在符合题意的点N， 设＝λ＝(－2λ，－λ，2λ)(0≤λ≤1)， 则＝＋＝(0，1，0)＋(－2λ，－λ，2λ)＝(－2λ，1－λ，2λ)． 因为AN∥平面BDM，所以⊥n. 所以n·＝－2λ＋2λ－2＋4λ＝0.解得λ＝，符合题意，即当N为PD的中点时，AN∥平面BDM. 知识点三　空间中平面与平面平行 6．若两个不重合平面α，β的法向量分别为u＝(2，－3，5)，v＝，则α与β的位置关系是________． 答案　平行 解析　∵u＝－2v，∴α与β平行． 7.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点． 求证：平面AMN∥平面EFBD. 证明　　以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(4，0，0)，M(2，0，4)，N(4，2，4)，B(4，4，0)，E(0，2，4)，F(2，4，4)，则＝(－2，0，4)，＝(0，2，4)，＝(－4，－2，4)，＝(－2，0，4)． 设平面AMN，平面EF