1.4 1.4.1 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版教程】作业与测评全书word（人教A版）

1.4　空间向量的应用 1．4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　空间中点、直线和平面的向量表示 1．[多选]由下列各式，可以判定点P在直线AB上的是(　　) A．＝＋k B．＝＋k C．＝＋k D．＝＋k 答案　AB 解析　由点P在直线上的充要条件可得，选AB. 2.如图所示，已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC内一定点，O为平面ABC外任一点，且平面ABC中的小方格为正方形，则下列能正确表示向量的为(　　) A．＋2＋2 B．－3－2 C．＋3－2 D．＋2－3 答案　C 解析　连接AP，∵A，B，C，P四点共面，∴可设＝x＋y，即＝＋x＋y，由题图可知x＝3，y＝－2. 知识点二　直线的方向向量 3．[多选](2022·广东八校高二期中调研)已知一直线经过点A(2，3，2)，B(－1，0，5)，下列向量中是该直线的方向向量的是(　　) A．a＝(1，1，1) B．a＝(－1，－1，1) C．a＝(－3，－3，3) D．a＝(1，1，－1) 答案　BCD 解析　由题知，＝(－3，－3，3)，则与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量，故选BCD. 4.如图所示，在三棱锥A－BCD中，E，F分别是AD，BC的中点，设＝a，＝b，＝c，以{a，b，c}为空间的一个基底，求直线EF的一个方向向量． 解　＝＋＋＝(－)－＋＝－－＝a－b－c. 故直线EF的一个方向向量为a－b－c. [名师点拨]　求直线的方向向量的关键是找到直线上两点，用所给的基向量表示以两点为起点和终点的向量，其难点是向量的运算． 知识点三　平面的法向量 5．已知＝(1，5，－2)，＝(3，1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则等于(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　由⊥，得·＝0，即3＋5－2z＝0，∴z＝4.又BP⊥平面ABC， ∴即 解得故＝. 6．[多选]已知平面α内有一点A(2，－1，2)，α的一个法向量为n＝，则下列四个点中在平面α内的是(　　) A．P1(1，－1，1) B．P2 C．P3 D．P4 答案　BC 解析　对于A中的点P1(1，－1，1)，＝(1，0，1)，·n＝≠0，排除A；同理可排除D；对于B中的点P2，＝，∴·n＝0；对于C中的点P3(2，1，1)，＝(0，－2，1)，∴·n＝0.故选BC. 7.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量． 解　因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直． 如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，D(0，，0)，E，B(1，0，0)，C(1，，0)，于是＝，＝(1，，0)． 设n＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，则 即 所以 令y＝－1，则x＝z＝. 所以平面ACE的一个法向量为n＝(，－1，)． [规律方法]　利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z)． (2)选向量：在平面内选取两个不共线向量，. (3)列方程组：由列出方程组． (4)解方程组：解 (5)赋非零值：取x，y，z其中一个为非零值(常取±1)． (6)得结论：得到平面的一个法向量． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、选择题 1.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上不与C1，C重合的任一点，则不能作为直线AA1的方向向量的是(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　一个向量对应的有向线段所在的直线与直线AA1平行或重合，则这个向量就是直线AA1的一个方向向量，故选C. 2．若a＝(1，2，3)是平面γ的一个法向量，则下列向量中能作为平面γ的法向量的是(　　) A．(0，1，2) B．(3，6，9) C．(－1，－2，3) D．(3，6，8) 答案　B 解析　由题意知，与a共线的非零向量都能作为平面γ的法向量，由(3，6，9)＝3(1，2，3)知，向量(3，6，9)与向量a＝(1，2，3)共线．故选B. 3．已知A(1，1，0)，B(1，0，1)，C(0