专题11 函数性质综合大题-【巅峰课堂】2022-2023学年高一数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版2019必修第一册）

专题11 函数性质综合大题 目录 【题型一】 “分式型”1：分离常数反比例函数 1 【题型二】“分式型”2：转化为“对勾” 3 【题型三】“分式型”3： 转化为“双曲” 5 【题型四】“分式型”4：分母二次、分子一次型 7 【题型五】“分式型”5：分子、分母二次型 9 【题型六】“分式型”6：判别式法 11 【题型七】“分式型”7：中心对称求和型 12 【题型八】“分式型”8：保值函数 13 【题型九】分式型结构不良型 15 【题型十】含绝对值型 17 培优第一阶——基础过关练 19 培优第二阶——能力提升练 22 培优第三阶——培优拔尖练 25 【题型一】 “分式型”1：分离常数反比例函数 【典例分析】 已知函数(常数). (1)若，在平面直角坐标系中画出该函数的图像; (2)若该函数在区间上是严格减函数，且在上存在自变量，使得函数值为正，求整数的值. 【答案】(1)见解析(2)或 【分析】（1）先对函数化简，再列表，描点，连线可得函数图像， （2）由函数在区间上是严格减函数，结合函数单调性的定义可得，再由在上存在自变量，使得函数值为正，可得在上有解，从而可求出的范围，进而可得整数的值. （1）当时，，列表如下： …… 0 …… …… 0 3 2 …… 函数图像如下： （2），任取，且，因为该函数在区间上是严格减函数，所以，因为，所以， 因为所以，得，因为在上存在自变量，使得函数值为正， 所以在上有解，因为，所以在上有解， 所以在上有解，所以， 因为在上递增，所以当时，取得最小值为， 所以，综上，因为，所以或 【提分秘籍】 基本规律 形如型 1.通过分离常数，可以得到平移后反比例函数，在连续区间内，具有单调性，大题可用定义法证明，小题可用分离变量为主证明。在前两种方法掌握的前提下，可以适当引入快速画图法。 2.反比例函数有对称中心，满足(其中（a，b）是对称中心， 可通过“左加右减上加下减”求得. 3.涉及到恒成立或者解不等式等问题，大多数可以转化为一元二次型求解。 【变式训练】 已知函数，． (1)若，使得，求实数的取值范围； (2)若集合，对于都有，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2) 【分析】(1)结合已知条件，将不等式转化为，然后利用基本不等式求解即可； (2)首先结合的单调性求集合，然后将不等式转化为，通过讨论的对称轴与区间的位置关系，并结合的单调性即可求解. （1）由题意，，使得，即， 因为，当且仅当时，即时，有最小值， 所以，即，故实数的取值范围为. （2）因为在单调递减，且，， 所以在上的值域为，即， 由题意，都有恒成立，即在区间的最大值 的对称轴为，且的图像开口向上， ①当时，即时，在上单调递增，故； ②当时，即时，在上单调递减，在上单调递增， 因为，，所以， (i)当时，即时，， 此时在上的最大值为恒成立； (ii)当时，即时，， 此时在上的最大值为恒成立； ③当时，即时，在上单调递减， 故恒成立，综上所述，实数的取值范围为. 【题型二】“分式型”2：转化为“对勾” 【典例分析】 已知函数，， (1)当时，求函数的单调递增与单调递减区间（直接写出结果）； (2)当时，函数在区间上的最大值为，试求实数的取值范围； (3)若不等式对任意，（）恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为，，单调递减区间为，；(2)(3) 【分析】（1）将题中的代入解析式，由对勾函数的单调性可得单调区间； （2）解不等式，即可得到结果； （3）将题中的式子等价变形，将问题转化为在，单调递增，结合分段函数的解析式和二次函数的图象的对称轴，分类讨论得到结果． （1）解：当时，， 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，； （2） 解：因为，，且函数在，上单调递减，在，上单调递增， 又因为在，上的最大值为，所以， 即，整理可得， 所以，所以，即； （3） 解：由不等式对任意，，恒成立， 即， 可令，等价为在，上单调递增， 而， 分以下三种情况讨论： ①当即时，可得，解得，矛盾，无解； ②，即时，函数的图象的走向为减、增、减、增， 但是中间增区间的长度不足1，要想在，递增，只能，即，矛盾，无解； ③即时，此时在，上单调递增， 要想在，递增，只能，即，所以． 综上可得满足条件的的取值范围是． 【提分秘籍】 基本规律 次型 1.当b=0时分母是ax型。很容易出对勾或者双曲函数，可以用单调性（大题用定义法证明单调性）或者均值不等式搞定最值。 2.当分母是ax-b型（b不为0），往往可以分离常数。对于理解力稍微好点的学生，还可以通过换元法（慎重，因为坐标系发生了变换）化简。程度差点的学生，可以换元化简后再还回去，也能达到分离常数的目的。 【变式训练】 已知