圆锥曲线专题：定值问题中常见的7种考法-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学同步讲与练(苏教版2019选择性必修第一册)

圆锥曲线专题：定值问题的7种常见考法 一、定值问题处理方法 1、解析几何中的定值问题是指某些几何量（线段长度，图形面积，角度，直线的斜率等）的大小或某些代数表达式的值和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值， 求定值问题常见的解题方法有两种： 法一、先猜后证（特例法）：从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关； 法二、引起变量法（直接法）：直接推理、计算，并在计算推理过程中消去参数，从而得到定值。 2、直接法解题步骤 第一步设变量：选择适当的量当变量，一般情况先设出直线的方程：或、点的坐标； 第二步表示函数：要把证明为定值的量表示成上述变量的函数，一般情况通过题干所给的已知条件，进行正确的运算，将需要用到的所有中间结果（如弦长、距离等）用引入的变量表示出来； 第三步定值：将中间结果带入目标量，通过计算化简得出目标量与引入的变量无关，是一个常数。 二、常见定值问题的处理方法 1、处理较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向； 2、在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢； 3、巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算。 三、常见条件转化 1、对边平行：斜率相等，或向量平行； 2、两边垂直：斜率乘积为-1，或向量数量积为0； 3、两角相等：斜率成相反数或相等或利用角平分线性质； 4、直角三角形中线性质：两点的距离公式 5、点与圆的位置关系：（·1）圆外：点到直径端点向量数量积为正数；（2）圆上：点到直径端点向量数量积为零；（3）圆内：点到直径端点向量数量积为负数。 四、常用的弦长公式： （1） 若直线的方程设为，，，则 （2） 若直线的方程设为，，，则 【注】上式中代表的是将直线方程带入圆锥曲线方程后，化简得出的关于或的一元二次方程的二次项系数。代表的是该一元二次方程的判别式。 题型一 斜率型定值问题 【例1】已知双曲线过点，且离心率 （1）求该双曲线的标准方程： （2）如果，为双曲线上的动点，直线与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出该定值. 【答案】（1）；（2）证明见解析， 【解析】（1）由题意，解得，， 故双曲线方程为 （2）设点，， 设直线的方程为， 代入双曲线方程，得， ，，， 同理， . 【变式1-1】已知椭圆的一个焦点为，过点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点. （1）若线段中点的横坐标为，求直线的方程； （2）设直线与直线交于点，点满足轴，轴，试求直线的斜率与直线的斜率的比值. 【答案】（1）直线l的方程为或； （2）直线的斜率与直线的斜率的比值为2. 【解析】（1）若直线的斜率不存在时，线段中点的横坐标为，与已知矛盾； 设，，则， ，， 所以， 记线段中点为，设的纵坐标为，由已知可得点的坐标为， 所以，，所以， 因为直线过点，，所以， 所以，所以， 当时，，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为， 因为直线： 与的交点坐标为， 点在椭圆内，故直线与椭圆相交，满足条件， 当时，，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为， 因为直线： 与的交点坐标为， 点在椭圆内，故直线与椭圆相交，满足条件， 所以直线的方程为或； （2）设直线的方程为， 联立，化简可得， 所以， 判别式，所以或， 设，，则，， 联立，化简可得，所以点的坐标为， 因为轴，轴，所以点的坐标为， 所以直线的斜率， 直线的斜率， 所以， 又， 所以. 【变式1-2】已知双曲线：的右焦点为，左顶点为A，且，到C的渐近线的距离为1，过点的直线与双曲线C的右支交于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴分别交于M，N两点. （1）求双曲线C的标准方程. （2）若直线MB，NB的斜率分别为，，判断是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1）；（2）是定值， 【解析】（1）由题意得，，渐近线方程为， 则到渐近线的距离为， 又因为， 所以，，， 故双曲线的标准方程为. （2）设直线：，，，， 联立方程组得， 所以，. 因为直线的方程为， 所以的坐标为，同理可得的坐标为. 因为，， 所以 ， 即为定值. 【变式1-3】已知抛物线C：的焦点为F，以抛物线上一动点M为圆心的圆经过点F，若圆M的面积最小值为. （1）求p的值； （2）当点M的横坐标为1且位于第一象限时，过M作抛物线的两条弦MA，MB，且满足证明：直线AB的斜率为定值． 【答案】（1）2；（2）证明见解析. 【解析】（1）设，有，而点， 则， 因，因此，而圆M面积最小值为，即，则有， 所以p的值是2. （2）由（1）知，抛物线，则有，而，即有轴， 因过M作抛物线的两条弦MA，MB，有， 则直线MA，MB倾斜角互补，即直线MA，MB斜率