4.4.3 不同函数增长的差异（教学课件）-【上好课】2022-2023学年高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）

4.4.3 不同函数增长的差异 第 4章 指数函数与对数函数 人教A版2019必修第一册 1.了解指数函数、对数函数、线性函数 (一次函数) 的增长差异. 2.理解对数增长、直线上升、指数爆炸。 3.了解函数的建模过程。 学习目标 新课引入 我们学习过的一次函数、二次函数、反比例函数、 幂函数、指数函数、对数函数中，哪些函数在定义 域上是增函数？ 在前面的学习中我们看到，一次函数与指数函数的增长方式存在很大差异.事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映.因此，如果把握了不同函数增长方式的差异，那么就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律.下面就来研究一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异. 探究：选取适当的指数函数与一次函数，探索它们在区间上的增长差异，你能描述一下指数函数的特点吗？ 0 1 0 0.5 1.414 1 1 2 2 1.5 2.828 3 2 4 4 2.5 5.657 5 3 8 6 … … … 不妨以函数和为例. 利用信息技术，列出上述两个函数的自变量与函数值的对应值表，并在同一个直角坐标系中画出它们的图象. 可以看到，函数和的图象 有两个交点. 在区间上，函数的图象位于的图象之上，；在区间上，函数的图象位于的图象之下，；在区间上，函数的图象位于的图象之上，这表明，虽然这两个函数在上都单调递增，但它们的增长速度不同，函数的增长速度保持不变，而函数的增长速度在变化. 下面在更大的范围内，观察和的增长情况.从表中可以看到，当自变量越来越大时，的图象就像与轴垂直一样，的值快速增长；而函数的增长速度依然保持不变，与函数的增长速度相比几乎微不足道. 0 1 0 2 4 4 4 16 8 6 64 12 8 256 16 10 1024 20 12 4096 24 … … … 综上所述，虽然函数和在区间上都单调递增，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着的增大，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度.尽管在的一定变化范围内，会小于，但由于的增长最终会快于的增长，因此，总会存在一个当时，恒有. 一般地，指数函数与一次函数的增长差异都与上述情况类似.即使的值远远大于的值，的增长速度最终都会大大超过的增长速度. 注：指数函数不像一次函数那样按同一速度增长，而是越来越快，呈爆炸性增长. 探究：选取适当的对数函数与一次函数，探索它们在区间上的增长差异，你能描述一下对数函数的特点吗？ 不妨以函数和为例. 为了更好地研究它们的增长差异，我们利用信息技术，列出上述两个函数的自变量与函数值的对应值表，并在同一个直角坐标系中画出它们的图象. 可以看到，虽然它们在上都单调递增，但增长速度存在明显的差异. 0 不存在 0 10 1 1 20 1.301 2 30 1.477 3 40 1.602 4 50 1.699 5 60 1.778 6 … … … 函数的增长速度保持不变，而函数的增长速度在变化.随着的最大，函数的图象离轴越来越远，而函数的图象越来越平缓，就像与轴平行一样. 例如而这说明，当，即时，与相比增长就很慢了. 思考：如果将放大1000倍，再对函数和的增长情况进行比较，那么仍有上述规律吗？ 因为函数值较大不便于手动画图，我们利用信息技术在同一个直角坐标系中画出它们的图象并研究其增长情况. 一般地，虽然对数函数与一次函数在区间上都单调递增，但它们的增长速度不同.随着的增大，一次函数保持固定的增长速度，而对数函数的增长速度越来越慢.不论的值比的值大多少，在一定范围内，可能会大于，但由于的增长最终会慢于的增长，因此总会存在一个，当时，恒有. 探究：类比上述过程， (1)画出一次函数对数函数和指数函数的图象，并比较它们的增长差异； (2)试着概况一次函数，对数函数和指数函数的增长差异； (3)讨论交流“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义. 随堂检测 1.由特殊到一般，由具体到抽象研究了一次函数f(x)=kx+b，k>0，指数 函数g(x)=ax(a>1) ，对数函数 在定义域上的 不同增长方式. 2.根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数． 课堂小结 24 THANKS “ ” 1．下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是(　　) A．y＝ex　 B．y＝ln x C．y＝x2 D．y＝e－x 【答案】A　[结合指数函数，对数函数及一次函数的图象变化趋势可知A正确．] 2．能使不等式log2x<x2<2x一定成立的x的取值区间