第六章 6.3.2 二项式系数的性质（作业）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第三册【精讲精练】人教A版

[必备知识·基础巩固] (时间：20分钟，分值：35分) 1．已知(2－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a8＝(　　) A．180　　　　　　　　 B．－180 C．45 D．－45 解析　∵(2－x)10＝C210(－x)0＋C29(－x)1＋…＋C22(－x)8＋C2(－x)9＋C(－x)10，∴a8＝C22＝4×C＝4×＝4×45＝180. 答案　A 2．(多选题)关于(a－b)10的说法，正确的是(　　) A．展开式中的二项式系数之和为1 024 B．展开式中的第6项的二项式系数最大 C．展开式中第5项或第7项的二项式系数最大 D．展开式中第6项的系数最小 解析　根据二项式系数的性质进行判断，由二项式系数的性质知：二项式系数之和为2n，故A正确；当n为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B正确，C错误；D也是正确的，因为展开式中第6项的系数是负数，所以是系数中最小的． 答案　ABD 3．(2022·北京卷)若(2x－1)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＝(　　) A．40 B．41 C．－40 D．－41 解析　当x＝1时，1＝a4＋a3＋a2＋a1＋a0①；当x＝－1时，81＝a4－a3＋a2－a1＋a0②；①＋②，得a0＋a2＋a4＝41． 答案　B 4．设(2－1)n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M,8，N三数成等比数列，则展开式中的第四项为_____________． 解析　当x＝1时，可得M＝1，二项式系数之和N＝2n，由已知M·N＝64，∴2n＝64，n＝6.∴第四项T4＝C·(2)3·(－1)3＝－160x. 答案　－160x 5．如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a，b，c，d是相邻两行的前四个数(如图所示)，那么当a＝8时，c＝___________，d＝________. 解析　观察发现：第n行的第一个数和行数相等，第二个数是1＋1＋2＋3＋…＋n－1＝＋1． 所以当a＝8时，c＝9，d＝＋1＝37. 答案　9　37 6．(10分)若(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，求： (1)各项系数之和； (2)奇数项系数的和与偶数项系数的和． 解析　(1)各项系数之和即a0＋a1＋a2＋…＋a10，可用“赋值法”求解．令x＝y＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(2－3)10＝(－1)10＝1． (2)奇数项系数的和为a0＋a2＋a4＋…＋a10，偶数项系数的和为a1＋a3＋a5＋…＋a9. 由(1)知a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，① 令x＝1，y＝－1，得 a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，② ①＋②得，2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510，故奇数项系数的和为； ①－②得，2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510，故偶数项系数的和为. [关键能力·综合提升] (时间：15分钟，分值：25分) 7．(多选题)(2022·湛江一模)已知(1－2x)2021＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2021x2021，则(　　) A．展开式中所有项的二项式系数和为22021 B．展开式中所有奇数项系数和为 C．展开式中所有偶数项系数和为 D．＋＋＋…＋＝－1 解析　∵(1－2x)2021＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2021x2021， 故所有项的二项式系数和为2n＝22021，故A正确； 令x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋…－a2021＝32021①， 令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2021＝－1②， ①＋②，并除以2，可得展开式中所有奇次项系数和为a0＋a2＋a4＋a6＋…a2020＝，故B正确； ②－①，并除以2，可得a1＋a3＋a5＋…＋a2021＝，故C错误；令x＝，可得a0＋＋＋…＋＝0，而a0＝1， ∴＋＋…＋＝－1，故D正确． 答案　ABD 8．(2022·浙江卷)已知多项式(x＋2)(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a2＝____________，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________. 解析　由题a2＝1×C·(－1)3＋2×C·(－1)2＝8. 令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0. 令x＝0，则a0＝2. 所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－2. 答案　8　－2 9．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0－1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，……，第n次全行的数都为1的是第________行；第62行中1的个数是________． 解析　由题意可得第1行，第3行，第7行，第15行，