第六章 6.3.1 二项式定理（作业）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第三册【精讲精练】人教A版

[必备知识·基础巩固] (时间：15分钟，分值：35分) 1．C·2n＋C·2n－1＋…＋C·2n－k＋…＋C＝(　　) A．2n　　　　　　　　　 B．2n－1 C．3n D．1 解析　原式＝(2＋1)n＝3n. 答案　C 2．若(1＋)4＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b＝(　　) A．33 B．29 C．23 D．19 解析　∵(1＋)4＝1＋4＋12＋8＋4＝17＋12＝a＋b， 又∵a，b为有理数，∴a＝17，b＝12.∴a＋b＝29. 答案　B 3．二项式6的展开式的常数项为60，则a的值为(　　) A．2 B．－2 C．±2 D．±3 解析　∵二项式6的展开式的通项公式为Tk＋1＝C·(－1)ka6－k·x12－3k，令12－3k＝0，求得k＝4，可得常数项为C·a2＝60，则a＝±2. 答案　C 4．(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________．(用数字填写答案) 解析　x2y7＝x·(xy7)，其系数为C， x2y7＝y·(x2y6)，其系数为－C， ∴x2y7的系数为C－C＝8－28＝－20. 答案　－20 5．二项式6的展开式中，常数项是________，有理项的个数为________． 解析　Tr＋1＝C6－r(－1)rr ＝ 常数项为T3＝C·22＝60； 令∈Z，r＝0,2,4,6符合题意，所以有理项共有4个． 答案　 60　 4 6．(10分)已知在n的展开式中，第9项为常数项，求： (1)n的值； (2)展开式中x5的系数； (3)含x的整数次幂的项的个数． 解析　已知二项展开式的通项Tk＋1＝C(x2)n－k·(－)k (1)因为第9项为常数项， 即当k＝8时，2n－k＝0， 解得n＝10. (2)令2n－k＝5，得k＝(2n－5)＝6， 所以x5的系数为(－1)6()4C＝. (3)要使2n－k，即为整数，只需k为偶数，由于k＝0,1,2,3，…，9,10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项． [关键能力·综合提升] (时间：15分钟，分值：25分) 7．(多选题)对于二项式n(n∈N*)，以下四种判断正确的是(　　) A．存在n∈N*，展开式中有常数项 B．对任意n∈N*，展开式中没有常数项 C．对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项 D．存在n∈N*，展开式中有x的一次项 解析　二项式(＋x3)n的展开式的通项公式为Tk＋1＝Cx4k－n，由通项公式可知，当n＝4k(k∈N*)和n＝4k－1(k∈N*)时，展开式中分别存在常数项和一次项． 答案　AD 8.(1＋x)4展开式中含x2的项的系数为(　　) A．4 B．6 C．10 D．12 解析　根据乘法公式，得：(1)因式1＋中的1和(1＋x)4展开式中含x2的项相乘可得含x2的项；(2)因式1＋中的和(1＋x)4展开式中含x3的项相乘可得含x2的项． (1＋x)4展开式的通项为Tk＋1＝Cxk(k＝0,1，…，4)，故·(1＋x)4展开式中含x2的项为1·Cx2＋·Cx3＝10x2，即含x2项的系数为10. 答案　C 9．若6的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为________． 解析　6的展开式的通项为Tk＋1＝C(ax2)6－k·k＝Ca6－k·bkx12－3k，令12－3k＝3，得k＝3，由Ca6－3b3＝20得ab＝1，所以a2＋b2≥2ab＝2，故a2＋b2的最小值为2. 答案　2 10．(10分)已知(＋)n(其中n<15)的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数成等差数列． (1)求n的值； (2)写出它展开式中的所有有理项． 解析　(1)(＋)n(其中n<15)的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数分别是C，C，C. 依题意得＋＝2·， 化简得90＋(n－9)(n－8)＝20(n－8)， 即n2－37n＋322＝0， 解得n＝14或n＝23，因为n<15，所以n＝14. (2)展开式的通项Tk＋1＝Cx·x＝C·x， 展开式中的有理项当且仅当k是6的倍数，0≤k≤14，所以展开式中的有理项共3项是： k＝0，T1＝Cx7＝x7； k＝6，T7＝Cx6＝3 003x6； k＝12，T13＝Cx5＝91x5. [核心素养·探索创新] (时间：10分钟，分值：12分) 11．(1)求多项式3的展开式； (2)求(1＋x)2·(1－x)5的展开式中x3的系数． 解析　(1)∵x2＋－2＝x2－2＋＝2， ∴3＝6 ＝Cx6＋Cx5＋Cx42＋Cx3·3＋Cx24＋Cx5＋C6 ＝x6－6x4＋15x2－20＋－＋. (2)法一　(1＋x)2·(1－x)5＝(1－x2)2(1－x)3＝(1－2x2＋x4)·(1－3x＋3x2－x