第六章 6.2.4 课时2 组合与组合数的应用（作业）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第三册【精讲精练】人教A版

[必备知识·基础巩固] (时间：20分钟，分值：35分) 1．某科技小组有6名学生，现从中选出3人去参观展览，至少有一名女生入选的不同选法有16种，则该小组中的女生人数为(　　) A．2　　　　　　　　　　 B．3 C．4 D．5 解析　设男生人数为x，则女生有(6－x)人．依题意：C－C＝16.即x(x－1)(x－2)＝6×5×4－16×6＝4×3×2.∴x＝4，即女生有2人． 答案　A 2．甲、乙等5名北京冬奥会志愿者到高山滑雪、短道速滑、花样滑冰、冰壶四个场地进行志愿服务，每个志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲去高山滑雪场，则不同的安排方法共有(　　) A．96种 B．60种 C．36种 D．24种 解析　分两类，一是高山滑雪场安排2人，除甲外的其余4人每人去一个场地，不同的安排方法共有A＝24种； 二是高山滑雪场只安排1人(甲)，其余4人分三组(2,1,1)，再安排到各场地， 有C·A＝36种． ∴不同的安排方法有24＋36＝60. 故选B． 答案　B 3．某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加某高校自主招生考试，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有(　　) A．140种 B．120种 C．35种 D．34种 解析　从7人中选4人，共有C＝35种选法，4人全是男生的选法有C＝1种．故4人中既有男生又有女生的选法种数为35－1＝34. 答案　D 4．(2022·新高考全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有(　　) A．12 种　　　　　　　 B．24 种 C．36 种 D．48 种 解析　先利用捆绑法排乙、丙、丁、戊四人，再用插空法选甲的位置，则有AAC＝24种．故选B． 答案　B 5．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________．(用数字作答) 解析　当每个台阶上各站1人时有CA种站法；当两个人站在同一个台阶上时有CCC种站法．因此不同的站法种数为CA＋CCC＝210＋126＝336. 答案　336 6．(10分)(1)以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四面体？ (2)以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四棱锥？ 解析　(1)正方体8个顶点可构成C个四点组，其中共面的四点组有正方体的6个表面及正方体6组相对棱分别所在的6个平面的四个顶点．故可以确定四面体的个数为C－12＝58个． (2)由(1)知，正方体共面的四点组有12个，以这每一个四点组构成的四边形为底面，以其余的四个点中任意一点为顶点都可以确定一个四棱锥，故可以确定四棱锥的个数为12C＝48个． [关键能力·综合提升] (时间：20分钟，分值：25分) 7．某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工队，不同的选法有(　　) A．C种　　　　　　　 B．A种 C．AA种 D．CC种 解析　每个被选的人员无角色差异，是组合问题．分两步完成：第一步，选女工，有C种选法；第二步，选男工，有C种．故有CC种不同选法． 答案　D 8．现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各三张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同的取法种数为(　　) A．135　　　　　　　 B．172 C．189 D．162 解析　不考虑特殊情况，共有C种取法，取三张相同颜色的卡片，有4种取法，只取两张红色卡片(另一张非红色)，共有CC种取法． 所求取法种数为C－4－CC＝189. 答案　C 9．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1,2号中至少有1名新队员的排法有________种． 解析　当入选的3名队员为2名老队员1名新队员时，有CCA＝12种排法；当入选的3名队员为2名新队员1名老队员时，有CCA＝36种排法．故共有12＋36＝48种排法． 答案　48 10．(10分)从1到6这6个数字中，取2个偶数和2个奇数组成没有重复数字的四位数．试问： (1)能组成多少个不同的四位数？ (2)四位数中，2个偶数排在一起的有几个？ (3)2个偶数不相邻的四位数有几个？(所得结果均用数值表示)． 解析　(1)易知四位数共有CCA＝216个． (2)上述四位数中，偶数排在一起的有CCAA＝108个． (3)由(1)(2)知两个偶数不相邻的四位数有216－108＝108个． [核心素养·探索创新] (时间：10分钟，分值：12分) 11．有五张卡片，它们的正、反面分别写0与1,2与3,4与5,6与7,8与9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组