第27章 相似三角形之相似模型04——射影定理和一线三等角模型 专题训练 2023—2024学年人教版数学九年级下册

学习是一个快乐而充满挑战的过程！ 专题训练 第27章 相似三角形之相似模型04——射影定理和一线三等角模型（原卷版） 一、选择题 1.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，DC=4，BC=9，则AC为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 第1题 第2题 第3题 2.（2023秋•秀峰区校级期中）如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=2，BD=8，那么AB的长是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 3.（2023春•荣昌区期末）如图，在矩形ABCD中，AB=6，将点B折叠到CD边上点E处，折痕为AF，连接AE，EF，若点E是CD中点，则CF长为（　　） A． B．1 C．2 D．3 4.如图，在矩形ABCD中，BD=．对角线AC与BD相交于点O，过点D作AC的垂线，交AC于点E，AE=3CE．则DE2的值为（　　） 第4题 第5题 5.如图，在边长为4的等边△ABC中，点D是AB边上一个动点，沿过点D的直线折叠∠A，使点A落在BC边上的点F处，折痕交AC于点E，当BF=1，AE=时，则AD的长是（　　） 6.（2023秋•无锡期末）将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似但不全等），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A=90°，AB=BC=6，CD=AD=3，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（　　） A．5 B．6 C． D．10 7.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，点D是边BC上一动点（不与B，C重合），∠ADE=45°，DE交AC于点E，下列结论：①△ADE与△ACD一定相似；②△ABD与△DCE一定相似；③当AD=3时，CE=；④0＜CE≤2．其中正确的结论有几个？（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 第7题 第8题 8.（2024•沙坪坝区校级开学）如图，在正方形ABCD中，AB=2a,点E是边AB上的一点，且BE=AE，连接DE，AM⊥DE于点M，CN⊥DE于点N，连接CM，则CM的长为（　　） 二、填空题 9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D，如果，AD=8，那么CD的长是 . 第9题 第10题 10.如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，下列四个结论中：①∠B+∠DAC=90°；②∠B=∠DAC； ③CD：AD=AC：AB；④AB2=BD•BC．其中正确的有 . 11.小灵为了测量操场边上一棵树的高度，她在树AB前方20米E点处放置一面小镜子，然后她沿BE方向继续往前走8米到D点处，转身刚好在镜子里看到树梢，小灵眼睛距地面1.44米，根据这些信息请你算出树的高度是 米． 第11题 第12题 12.（2024•凉州区一模）如图，将等边△ABC折叠，折痕为MN，使点A落在BC边上得到点D．若BD=BC，则 =_________。 13.（2024•宁海县校级自主招生）有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放，点G正好在书架边框上．每本书的厚度为5cm,高度为20cm,书架宽为40cm,则FI的长 . 第13题 第14题 14.如图，等边三角形ABC的边长为3，点D、E分别在边AB和AC上．将∠A沿着DE折叠，若点A恰好落在边BC的三等分点处，此时BD的长为___________. 三、解答题 15.如图，等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，∠ADE=60°（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）若BD=4，CE=，求△ABC的边长． 16.（2024•太白县一模）为完成社会实践活动，晓玲打算去测量大雁塔南广场上伫立着的玄奘雕塑．晓玲自制了一个矩形纸板CDEF，按如图所示在地面固定纸板，使得雕塑顶端A在DC的延长线上，并在顶点C处悬挂一个铅锤M，恰好交DE于点M，测得点C到雕塑AB的距离CH为6m,CD=0.5m,DM=0.6m,点C到地面BE的距离为1m,AB∥CM，AB⊥BE，CH⊥AB于点H，所有点都在一个平面内，请求出玄奘雕塑的高AB． 17.如图，在中，点分别在边上，连接，且． （1）证明：；（2）若，当点D在上运动时（点D不与重合），且是等腰三角形，求此时的长． 18.（2024•滨海县一模）【感知】如图①，在正方形ABCD中，E为AB边上一点，连结DE，过点E作EF⊥DE交BC于点F．易证：△AED∽△BFE．（不需要证明） 【探究】如图②，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，连结DE，过点E作EF⊥DE交BC于点F． （1）求证：△AED∽△BFE． （2）若AB=10，AD=6，E为AB的中点，求BF的长． 【应用】如图③，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AB=4．E为AB边上一点（点E不与点A、B重合），连结CE，过点E作∠CEF=45°交BC于点F．当△CEF为等腰三角形时，BE的长为__________. 1 1 教育是一个优雅而漫长的过程! 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学习是一个快乐而充满挑战的过程！ 专题训练 第27章 相似三角形之相似模型04——射影定理和一线三等角模型（解析版） 一、选择题 1.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，DC=4，BC=9，则AC为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】根据射影定理：直角三角形中，一条直角边是这条直角边在斜边上的射影与斜边的比例中项计算即可． 【解答】解：由射影定理得， AC2=CD•CB=4×9=36， ∴AC=6． 故选：B． 2.（2023秋•秀峰区校级期中）如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=2，BD=8，那么AB的长是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 3.（2023春•荣昌区期末）如图，在矩形ABCD中，AB=6，将点B折叠到CD边上点E处，折痕为AF，连接AE，EF，若点E是CD中点，则CF长为（　　） A． B．1 C．2 D．3 4.如图，在矩形ABCD中，BD=．对角线AC与BD相交于点O，过点D作AC的垂线，交AC于点E，AE=3CE．则DE2的值为（　　） 【分析】根据矩形的性质可得∠ADC=90°，AC=BD=，从而求出AE，CE的长，然后根据射影定理证明△ADE∽△DCE，从而可得DE2=AE•CE，即可解答． 5.如图，在边长为4的等边△ABC中，点D是AB边上一个动点，沿过点D的直线折叠∠A，使点A落在BC边上的点F处，折痕交AC于点E，当BF=1，AE=时，则AD的长是（　　） 6.（2023秋•无锡期末）将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似但不全等），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A=90°，AB=BC=6，CD=AD=3，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（　　） A．5 B．6 C． D．10 7.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，点D是边BC上一动点（不与B，C重合），∠ADE=45°，DE交AC于点E，下列结论：①△ADE与△ACD一定相似；②△ABD与△DCE一定相似；③当AD=3时，CE=；④0＜CE≤2．其中正确的结论有几个？（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】利用有两个角对应相等的两个三角形相似可以判定①②正确；根据相似三角形对应边成比例，利用△ADE∽△ACD得出比例式求得AE的长，进而得出③正确；利用判定③正确的结论，通过分析AD的取值范围即可得出④正确． 解：∵∠BAC=90°，AB=AC=4， ∴∠B=∠C=45°，BC=． ∵∠ADE=45°， ∴∠ADE=∠C=45°． ∵∠DAE=∠CAD， ∴△ADE∽△ACD． ∴①正确； ∵∠ADE=45°， ∴∠ADB+∠EDC=180°-45°=135°． ∵∠B=45°， ∴∠ADB+∠BAD=180°-45°=135°． ∴∠BAD=∠EDC． ∵∠B=∠C， ∴△ABD∽△DCE． ∴②正确； 由①知：△ADE∽△ACD， 8.（2024•沙坪坝区校级开学）如图，在正方形ABCD中，AB=2a,点E是边AB上的一点，且BE=AE，连接DE，AM⊥DE于点M，CN⊥DE于点N，连接CM，则CM的长为（　　） 二、填空题 9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D，如果，AD=8，那么CD的长是 . 10.如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，下列四个结论中： ①∠B+∠DAC=90°；②∠B=∠DAC；③CD：AD=AC：AB；④AB2=BD•BC．其中正确的有 . 【分析】根据三角形内角和定理可得∠B+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，进而可得∠B=∠DAC，以此可判断①②；易证△ACD∽△BAD，利用相似三角形的性质即可判断③；证明△ABD∽△CBA，利用相似三角形的性质即可判断④． 【解答】解：∵∠BAC=90°， ∴∠B+∠C=90°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC=90°=∠ADB， ∴∠DAC+∠C=90°， ∴∠B=∠DAC，故①错误，②正确； ∵∠ADC=∠BDA=90°， ∴△ACD∽△BAD， 11.小灵为了测量操场边上一棵树的高度，她在树AB前方20米E点处放置一面小镜子，然后她沿BE方向继续往前走8米到D点处，转身刚好在镜子里看到树梢，小灵眼睛距地面1.44米，根据这些信息请你算出树的高度是 米． 12.（2024•凉州区一模）如图，将等边△ABC折叠，折痕为MN，使点A落在BC边上得到点D．若BD=BC，则 =_________。 13.（2024•宁海县校级自主招生）有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放，点G正好在书架边框上．每本书的厚度为5cm,高度为20cm,书架宽为40cm,则FI的长 . 【分析】根据题意得出CI=20cm,EF=20cm,FG=5cm,证△GIF∽△FEC，根据线段比例关系得出FI的长度即可． 【解答】解：由题知，CI=BI-BC=40-20=20cm,EF=20cm,FG=5cm, ∵∠EFC+∠CEF=90°，∠EFC+∠GFI=90°， ∴∠CEF=∠GFI， ∵∠ECF=∠FIG=90°， ∴△GIF∽△FCE， 14.如图，等边三角形ABC的边长为3，点D、E分别在边AB和AC上．将∠A沿着DE折叠，若点A恰好落在边BC的三等分点处，此时BD的长为___________. 【分析】依据折叠可得∠DAE=∠B=∠C=60°，判定△DBA∽△ACE，利用相似三角形的周长之比等于相似比，即可得到BD的长． 【解答】解：分两种情况： ①当BA：AC=1：2时，BA=1，AC=2， 由题可得，∠B=∠C=∠DAE=60°，BD+AD=AE+CE=3， ∴∠D+∠BAD=120°=∠CAE+∠BAD， ∴∠D=∠CAE， 又∵∠B=∠C， ∴△DBA∽△ACE， 三、解答题 15.如图，等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，∠ADE=60° （1）求证：△ABD∽△DCE；（2）若BD=4，CE=，求△ABC的边长． 【分析】（1）由∠ADE=60°，证明∠DAB=∠EDC，可证得△ABD∽△DCE； （2）可用等边三角形的边长表示出DC的长，由（1）根据相似三角形的对应边成比例，求得△ABC的边长． 【解答】证明（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠C=60°，AB=BC； ∴CD=BC-BD=AB-3； ∴∠BAD+∠ADB=120° ∵∠ADE=60°， ∴∠ADB+∠EDC=120°， ∴∠DAB=∠EDC， 又∵∠B=∠C=60°， ∴△ABD∽△DCE； 16.（2024•太白县一模）为完成社会实践活动，晓玲打算去测量大雁塔南广场上伫立着的玄奘雕塑．晓玲自制了一个矩形纸板CDEF，按如图所示在地面固定纸板，使得雕塑顶端A在DC的延长线上，并在顶点C处悬挂一个铅锤M，恰好交DE于点M，测得点C到雕塑AB的距离CH为6m,CD=0.5m,DM=0.6m,点C到地面BE的距离为1m,AB∥CM，AB⊥BE，CH⊥AB于点H，所有点都在一个平面内，请求出玄奘雕塑的高AB． 【分析】根据垂直定义可得∠AHC=90°，再利用平行线的性质可得∠AHC=∠HCM=90°，从而可得∠ACH+∠DCM=90°，然后利用矩形的性质可得∠D=90°，从而可得∠CMD+∠DCM=90°，再利用同角的余角相等可得∠ACH=∠CMD，从而可证△AHC∽△CDM，最后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：∵CH⊥AB， ∴∠AHC=90°， ∵AB∥CM， ∴∠AHC=∠HCM=90°， ∴∠ACH+∠DCM=180°-∠HCM=90°， ∵四边形CDEF是矩形， ∴∠D=90°， ∴∠CMD+∠DCM=90°， ∴∠ACH=∠CMD， ∵∠AHC=∠D=90°， ∴△AHC∽△CDM， 17.如图，在中，点分别在边上，连接，且． （1）证明：； （2）若，当点D在上运动时（点D不与重合），且是等腰三角形，求此时的长． 【答案】(1)理由见详解；（2）或，理由见详解． 【分析】（1）根据题目已知条件易得：，，所以得到，问题得证． （2）由题意易得是等腰直角三角形，所以，当是等腰三角形时，根据分类讨论有三种情况：①AD=AE，②AD=DE，③AE=DE；因为点D不与重合，所以第一种情况不符合，其他两种情况根据等腰三角形的性质“等边对等角”及，求出问题即可． 【详解】解：（1） 如图可知： 在中， 又 ． （2） ， 是等腰直角三角形 BC=2，AB=AC=BC= ①当AD=AE时， ， 点D在上运动时（点D不与重合）,点E在AC上 此情况不符合题意． ② 当AD=DE时， 由（1）结论可知： AB=DC= ． ③ 当AE=DE时， 是等腰直角三角形 ， ，即 ． 综上所诉：或． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及等腰三角形的存在性问题，关键是利用“K”型相似模型及根据“等边对等角”、等腰直角三角形的性质得到线段的等量关系，进而求解问题． 18.（2024•滨海县一模）【感知】如图①，在正方形ABCD中，E为AB边上一点，连结DE，过点E作EF⊥DE交BC于点F．易证：△AED∽△BFE．（不需要证明） 【探究】如图②，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，连结DE，过点E作EF⊥DE交BC于点F． （1）求证：△AED∽△BFE． （2）若AB=10，AD=6，E为AB的中点，求BF的长． 【应用】如图③，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AB=4．E为AB边上一点（点E不与点A、B重合），连结CE，过点E作∠CEF=45°交BC于点F．当△CEF为等腰三角形时，BE的长为__________. ∵∠EFC为△BEF的外角， ∴∠EFC=∠B+∠BEF， ∵∠ACB=90°，AC=BC， ∴∠A=∠B=45°， ∴∠BEF=∠EFC-∠B=67.5°-45°=22.5°， ∠ACE=90°-∠ECF=90°-67.5°=22.5°， ∴∠ACF=∠BEF， 又∵∠A=∠B，CE=EF， ∴△AEC≌△BFE（AAS）， ∴BE=AC， ∵∠ACB=90°，AC=BC，AB=4， 1 1 教育是一个优雅而漫长的过程! 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