专题13 与角相关的旋转（翻折）问题 专项讲练-2022-2023学年七年级数学上册重难题型全归纳及技巧提升专项精练（人教版）

专题13 与角相关的旋转（翻折）问题 专项讲练 与角有关的旋转（翻折）问题属于人教版 七年级上期必考压轴题型，是尖子生必须要攻克的一块重要内容，对考生的综合素养要求较高。绝大部分学生对角度旋转问题信心不足，原因就是很多角度旋转问题需要自己画出图形，与分类讨论思想、数形结合思想等结合得很紧密，思考性强，难度大。本专题重点研究与角有关的旋转问题（求值问题；定值问题；探究问题；分类讨论问题）和与角有关的翻折问题。 【与角相关的旋转问题】 【解题技巧】 1、角度旋转问题解题步骤： ①找——根据题意找到目标角度； ②表——表示出目标角度： 1）角度一边动另一边不动，角度变大：目标角=起始角+速度×时间； 2）角度一边动另一边不动，角度变小：目标角=起始角—速度×时间； 3）角度一边动另一边不动，角度先变小后变大： 变小：目标角=起始角—速度×时间；变大：目标角=速度×时间—起始角 ③列——根据题意列方程求解。 注：①注意题中是否确定旋转方向，未确定时要分顺时针与逆时针分类讨论；②注意旋转角度取值范围。 常见的三角板旋转的问题：三角板有两种，一种是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一种是特殊角的直角三角板(90°、60°、30°)。三角板的旋转中隐藏的条件就是上面所说的这几个特殊角的角度。 总之不管这个角如何旋转，它的角度大小是不变的，旋转的度数就是组成角的两条射线旋转的度数（角平分线也旋转了同样的度数）。抓住这些等量关系是解题的关键，三角板只是把具体的度数隐藏了起来。 【重要题型】 题型1：求值问题 例1．（2022·江苏·七年级期中）已知∠AOB和∠COD均为锐角，∠AOB＞∠COD，OP平分∠AOC，OQ平分∠BOD，将∠COD绕着点O逆时针旋转，使∠BOC=α（0≤α＜180°） （1）若∠AOB=60°，∠COD=40°，①当α=0°时，如图1，则∠POQ=　 　；②当α=80°时，如图2，求∠POQ的度数；③当α=130°时，如图3，请先补全图形，然后求出∠POQ的度数； （2）若∠AOB=m°，∠COD=n°，m＞n，则∠POQ=　 　，（请用含m、n的代数式表示）． 【答案】（1）①50°；②50°；③130°；（2）m°+n°或180°-m°-n° 【分析】（1）根据角的和差和角平分线的定义即可得到结论；（2）根据角的和差和角平分线的定义即可得到结论． 【详解】解：（1）①∵∠AOB=60°，∠COD=40°，OP平分∠AOC，OQ平分∠BOD， ∴∠BOP=∠AOB=30°，∠BOQ=∠COD=20°，∴∠POQ=50°，故答案为：50°； ②解：∵∠AOB=60°，∠BOC=α=80°，∴∠AOC=140°， ∵OP平分∠AOC，∴∠POC=∠AOC=70°， ∵∠COD=40°，∠BOC=α=80°，且OQ平分∠BOD，同理可求∠DOQ=60°， ∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=20°，∴∠POQ=∠POC-∠COQ=70°-20°=50°；  ③解：补全图形如图3所示， ∵∠AOB=60°，∠BOC=α=130°，∴∠AOC=360°-60°-130°=170°， ∵OP平分∠AOC，∴∠POC=∠AOC=85°， ∵∠COD=40°，∠BOC=α=130°，且OQ平分∠BOD，同理可求∠DOQ=85°， ∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=85°-40°=45°，∴∠POQ=∠POC+∠COQ=85°+45°=130°； （2）当∠AOB=m°，∠COD=n°时，如图2， ∴∠AOC= m°+ °，∵OP平分∠AOC，∴∠POC=(m°+ °)， 同理可求∠DOQ=(n°+ °)，∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=(n°+ °)- n°=(-n°+ °)， ∴∠POQ=∠POC-∠COQ=(m°+ °)-(-n°+ °) =m°+n°， 当∠AOB=m°，∠COD=n°时，如图3， ∵∠AOB=m°，∠BOC=α，∴∠AOC=360°-m°-°， ∵OP平分∠AOC，∴∠POC=∠AOC=180°(m°+ °)， ∵∠COD=n°，∠BOC=α，且OQ平分∠BOD，同理可求∠DOQ=(n°+ °)， ∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=(n°+ °)-n°=(-n°+ °)， ∴∠POQ=∠POC+∠COQ=180°(m°+ °)+(-n°+ °) =180°-m°-n°， 综上所述，若∠AOB=m°，∠COD=n°，则∠POQ=m°+n°或180°-m°-n°． 故答案为：m°+n°或180°-m°-n°． 【点睛】本题考查了角的计算，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键． 变式1．（2022•高新区期末）已知∠AOB＝90°，∠COD＝60°，按如图1所示摆放，将OA、OC边重合在直线MN上，OB