专题19 运用错位相减法求和-2023年高考数学微专题复习（新高考地区专用）

专题19 运用错位相减法求和 一、真题剖析 【2021年乙卷文科】设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列． （1）求和的通项公式； （2）记和分别为和的前n项和．证明：． 【试题情景】本题属于课程学习情景，本题考查了数列的通项公式以及运用错位相减法求和。 【必备知识】本题考查的主要是求数列的通项公式以及数列的求和的方法 【能力素养】本题考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力，考查的学科素养是理想思维和数学探索，本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论； 方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,然后证得结论,为最优解； 【解析】（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列， 所以，所以， 即，解得，所以， 所以. （2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和 ， ， ． 设，       ⑧ 则．        ⑨ 由⑧-⑨得． 所以． 因此． 故． [方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法 证明：由（1）可得， ，① ，② ①②得 ， 所以， 所以， 所以. 二、题型选讲 例1、(2022·泰州中学期初考试)(12分)已知数列{an}的前n项和Sn，满足3Sn＝1＋2an. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列的前项和Tn． 解：(1)3Sn＝1＋2an，①， 当n＝1时，3S1＝1＋2a1，解得a1＝1， 当n≥2时，3Sn+1＝1＋2an+1，②， 由②－①可得3an+1＝2an+1－2an， 即an+1＝－2an，∴＝﹣2， ∴数列{an}是以1为首项，以－2为公比的等比数列， ∴an＝(－2)n﹣1， (2)(2n－1)an＝(2n－1)(－2)n﹣1， 则Tn＝1×(－2)0+3×(－2)1+5×(－2)2＋…＋(2n－1)(－2)n﹣1， ∴－2Tn＝1×(－2)1+3×(－2)2+5×(－2)3＋…＋(2n－1)(－2)n， 两式相减，可得 3Tn＝1＋2×(－2)1＋2×(－2)2＋2×(－2)3＋…＋2×(－2)n﹣1－(2n－1)(－2)n， ＝1＋2×－（2n－1)(－2)n， ＝1－－×(－2)n－(2n－1)(－2)n＝－－(2n－)×(－2)n， ∴Tn＝－－． 例2、(2022·青岛期初考试)已知等差数列{An}的首项A1为4，公差为6，在{An}中每相邻两项之间都插入两个数，使它们和原数列的项一起构成一个新的等差数列{an}． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若，，…，，…是从{an}中抽取的部分项按原来的顺序排列组成的一个等比数列，，令，求数列{bn}的前n项和Tn． 【考点】数列的通项公式与求和 【解析】 (1)设数列{an}的公差为d， 由题意可知，＝A2＝4＋6＝10， 所以， 解得d＝2， 所以＝2n＋2； (2)设等比数列，，…，，…的公比为q， 则q＝＝＝＝3，所以＝， 又＝， 所以， ， 因为， 所以4×31， 相减得： ． 例3、（2022·湖北襄阳·高三期末）设是正项等比数列，是等差数列，已知，，，． (1)求和的通项公式； (2)设数列满足，是否存在实数、，使得前项和为，如果存在，求实数、的值，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)存在，，. 【解析】 【分析】 （1）利用等比数列的通项公式及等差数列的通项公式即求； （2）由题可得，然后利用错位相减法可得，再结合条件即得. (1) 设数列的公比为，数列的公差为，则 由，得，即， 解得或（舍），又， 所以， ∴，即， 解得， 所以； (2) ∵， ∴ 于是， ， 两式相减可得：， ∴，又因为 所以存在，，使得前项和为. 例4、（2022·江苏扬州·高三期末）已知等差数列{an}和等比数列{bn}，数列{an}的公差d≠0，a1＝2．若a3，a6，a12分别是数列{bn}的前3项． (1)求数列{bn}的公比q； (2)求数列{anbn}的前n项和Tn． 【答案】(1). (2). 【解析】 【分析】 （1）利用等差数列、等比数列的性质建立方程解得公差d，再利用等比数列的定义可求得答案； （2）由（1）得，运用数列错位相减法求和即可. (1) 解：由题意得a62＝a3a12，即，解得d＝2或d＝0， 因为d≠0，所以d＝2， 所以． (2) 解：由（1）可得， 所以，所以 ， 2Tn＝，两式相减得 ， 所以． 例5、(2022·江苏徐州期中)(本