第一章勾股定理复习讲义　　2022—2023学年北师大版数学八年级上册

第一章 勾股定理 勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称。 勾股定理是一个基本的几何定理，中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明。直角三角形两直角边（即“勾”，“股”）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方。也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a²+b²=c²。勾股定理现发现约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。赵爽在注解《周髀算经》中给出了“赵爽弦图”证明了勾股定理的准确性，勾股数组呈a² + b² = c²的正整数组(a,b,c)。(3,4,5)就是勾股数. 知识点一、勾股定理 1.勾股定理 （1）内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； （2）表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么； （3）勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦“”．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方. 2.书写格式：∵ △ABC为直角三角形，∠C=90°，∴ AC2+BC2=AB2（或a2+b2=c2）. 3.勾股定理的适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 4.勾股定理关系式的变式：在Rt△ABC中，如果∠C=90°，由勾股定理可得a2+b2=c2，还可以得到一些变形关系式：a2=c2-b2，b2=c2-a2.也就是说，在直角三角形中，只要知道任意两边就可以求出第三边.另外，勾股定理是直角三角形中三边存在的等量关系，常以其列方程解决问题. 知识点二、勾股定理的验证 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的