圆锥曲线专题：定点问题中常见4种考法-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学同步讲与练(苏教版2019选择性必修第一册)

圆锥曲线专题：定点问题中常见的4种考法 一、常用方法技巧 1、参数无关法 把直线或者曲线方程中的变量，当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时的参数的系数就要全部为零，这样就得到一个关于，的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点。 2、特殊到一般法 根据动点或动直线、动曲线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关。 3、关系法 对满足一定条件上的两点连结所得直线定点或满足一定条件的曲线过定点问题，可设直线（或曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识求解。 二、手电筒模型解题步骤 1、概念：只要任意一个限定与条件（如，），直线依然会过定点，因为三条直线形似手电筒，故称为手电筒模型。 2、解题步骤： 第一步：由直线，联立曲线方程得根与系数关系，求出参数范围； 第二步：由与关系，得到一次函数或； 第三步：将或代入，得到. 三、交点弦的中点所在直线恒过定点解题步骤 第一步：设其中一条直线的斜率为，求出直线方程； 第二步：直线与曲线进行联立，出现韦达定理的形式，或者直接求出坐标，表示出这条弦的中点，并且类比出另外一条的中点坐标； 第三步：由上述两部，根据点斜式写出两个中点所在直线的方程； 第四步：化直线为点斜式，确定定点坐标。 四、圆锥曲线的切点弦方程 1、过抛物线外一点作抛物线的切线，切点弦方程为； 2、过椭圆外一点作椭圆的切线，切点弦方程为； 3、过双曲线外一点作双曲线的切线，切点弦方程为； 五、几个重要的定点模型 1、过椭圆的左焦点作两条相互垂直的弦，，若弦，的中点分别为，，则直线恒过定点.（双曲线与抛物线也有类似结论） 2、动点在直线上，由引椭圆的两条切线，切点分别是，，则直线恒过定点.（双曲线与抛物线也有类似结论） 3、（1）过椭圆上的一定点作两条斜率之和为的直线，，分别交椭圆于，两点，则直线必过定点； （2）过抛物线上的一定点作两条斜率之和为的直线，，分别交抛物线于，两点，则直线必过定点 4、（1）过椭圆上的一定点作两条斜率之积为的直线，，分别交椭圆于，两点，则直线必过定点 （2）过抛物线上的一定点作两条斜率之积为的直线，，分别交抛物线于，两点，则直线必过定点 （3、4两个结论对于圆与双曲线也成立，当时就是圆中的结论，用替代就可得到双曲线中的结论） 题型一 手电筒模型恒过定点问题 【例1】已知椭圆的长轴为双曲线的实轴，且椭圆过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）设点是椭圆上异于点的两个不同的点，直线与的斜率均存在，分别记为，若，试问直线是否经过定点，若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由. 【答案】（1）；（2）过定点 【解析】（1）因为椭圆的长轴为双曲线的实轴， 所以， 因为椭圆过点，所以，，得， 所以椭圆方程为， （2）①当直线的斜率存在时，设其方程为， 由，得， ， 所以， 所以， ， 因为，所以， 所以， 所以， 所以， 化简得，即， 所以或， 当时，直线的方程为， 则直线过定点（舍去）， 当时，直线的方程为， 所以直线过定点， ②当直线的斜率不存在时，设直线为（）， 由，得 所以， 所以， 解得（舍去），或， 所以直线也过定点， 综上，直线恒过定点. 【变式1-1】已知直线与双曲线C：交于A，B两点，F是C的左焦点，且，. （1）求双曲线C的方程； （2）若P，Q是双曲线C上的两点，M是C的右顶点，且直线MP与MQ的斜率之积为，证明直线PQ恒过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】（1）；（2）证明见解析，直线PQ恒过定点（-2，0） 【解析】（1）因为，所以，， 设双曲线C的焦距为2c，由双曲线的对称性知 设双曲线C的右焦点为F'，则，得， 则，故双曲线C的方程为. （2）由已知得，设直线MP与MQ的斜率分别为，， ①当直线PQ不垂直于x轴时： 设直线PQ的斜率为k，PQ的方程为，，， 由得， 当时，，， 那么 ， 得，符合题意. 所以直线PQ的方程为，恒过定点（-2，0）. ②当直线PQ垂直于x轴时： 设，因为P是C上的点，所以， 则，解得， 故直线PQ过点（-2，0）. 综上，直线PQ恒过定点（-2，0）. 【变式1-2】已知F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，. （1）求抛物线的方程： （2）已知为抛物线上一点，M，N为抛物线上异于P的两点，且满足，试探究直线MN是否过一定点？若是，求出此定点；若不是，说明理由. 【答案】（1） （2）过定点， 【解析】（1）由已知，直线AB的方程为 联立直线与抛物线，消y可得，， 所以， 因为，所以， 即抛物线的方程为. （2）将代入可得， 不妨设直线MN的方程为， 联立，消x