第三章 章末综合提升（教学用书）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【金版新学案】同步导学（人教B版）

章末综合提升 一、两个计数原理的应用 主要考查角度 (1)分类加法计数原理的应用； (2)分步乘法计数原理的应用； (3)两个原理的综合应用． 关键核心素养 (1)数学运算；(2)逻辑推理；(3)数学抽象；(4)数学建模． (1)某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为(　　) A．14 B．16 C．20 D．48 (2)一个地区分为5个行政区域(如图所示)，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法有________种．(用数字作答) [思路点拨]　(1)→； (2)按区域分类或按颜色分类均可． 解析：　(1)分两类： 第一类，甲企业有1人发言，有2种情况，另两个发言人来自其余4家企业，有6种情况，由分步乘法计数原理，得N1＝2×6＝12； 第二类，3人全来自其余4家企业，有4种情况，即N2＝4. 综上可知，共有N＝N1＋N2＝12＋4＝16种情况． (2)方法一：分步考虑，先给区域1着色，有C种不同的着色方法；再给区域2着色，有C种不同的着色方法；然后给剩下的三个区域着色，可分两类： 第一类，将剩余两种颜色在区域3和区域4处全排列，有A种，再将区域3中的颜色着于区域5处，仅有一种方法．由分步乘法计数原理，知有C·C·A种不同的着色方法； 第二类，从剩下的两种颜色中任选一种着于区域3处，有C种方法，然后将区域2中的颜色着于区域4处，再从剩下的一种颜色和区域3中的颜色中任选1种着于区域5处，有C种方法．由分步乘法计数原理，知有C·C·C·C种不同的着色方法． 综上，由分类加法计数原理，知共有C·C·A＋C·C·C·C＝72种不同的着色方法． 方法二：以所用颜色的多少分类考虑． 第一类，仅着4种颜色(即有一种颜色重复使用)，可分如下三步进行：①区域1的着色法有C种；②从剩余颜色中抽出一种准备重复着色有C种，而使其在区域2，4或3，5处着色有2种方法，此步骤共有2C种方法，将剩余的2种颜色着于剩下两处，有A种．由分步乘法计数原理，知共有2C·C·A种不同的着色方法． 第二类，仅着3种颜色，亦可分为三步进行：①先从四种颜色中选出三种，有C种；②从所选三种颜色中任选一种着于1处，有C种；③让剩下的两种颜色一种着于区域2，4处，一种着于区域3，5处，有A种．由分步乘法计数原理，知共有C·C·A种不同的着色方法． 学生用书↓第27页 综上，由分类加法计数原理，知共有2C·C·A＋C·C·A＝72种不同的着色方法． 答案：　(1)B　(2)72 使用两个原理时应注意的问题 (1)对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰； (2)当两个原理混合使用时，一般是先分类，在每类方法里再分步．　　 即时练1.(1)从2张1元，3张0.5元，2张0.1元的纸币中，任取4张，面值和超过2元的取法总数为________种． (2)5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子中至少有一个球，若甲球必须放入A盒，则不同的放法种数是________． 解析：　(1)第一类，1元取2张，再从剩下的5张中任取2张，共有C＝10种， 第二类，①1元取1张，0.5元取3张，共有2种， ②1元取1张，0.5元的取2张，0.1元的取1张，共有2×C×2＝12种， 根据分类加法计数原理，共有10＋2＋12＝24种． (2)将甲球放入A盒后分两类，一类是除甲球外，A盒还放其他球，共A＝24(种)，另一类是A盒中只有甲球，则其他4个球放入另外的三个盒中，有C·A＝36(种).故总的放法为24＋36＝60(种). 答案：　(1)24　(2)60 二、排列、组合问题 主要考查角度 (1)排列数和组合数公式的应用； (2)简单的排列、组合应用题． 关键核心素养 (1)数学分析；(2)逻辑推理；(3)数学运算． (1)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为(　　) A．3×3! B．3×(3！)3 C．(3！)4 D．9! (2)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是(　　) A．72 B．120 C．144 D．168 (3)从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两同学中至多有一个人参加，则不同选法的种数为(　　) A．9 B．14 C．12 D．15 [思路点拨]：　(1)→； (2)→； (3)→ 解析：　 (1)把一家三口看作一个排列，共有3个三口之家，然后再排列这3家，所以有(3！)4种